Математическое ожидание

Числовые характеристики случайных величин

ЛЕКЦИЯ 7

Закон распределения случайной величины отвечает на вопрос, где расположены возможные значения случайной величины и какова вероятность их появления в том или ином интервале значений.

Часто на практике достаточно знать только некоторые характеристики случайной величины, то есть иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. В теории вероятностей для общей характеристики случайной величины используют параметры, называемые числовыми характеристиками случайной величины.

Наиболее часто используют такие из них: математическое ожидание, дисперсия, мода, медиана, моменты распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, равное сумме произведений всех возможных значений данной случайной величины на вероятность появления этих значений, т.е.

.

(или для случайной величины, имеющей счётное множество различных значений).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число, равное

,

если значения этой случайной величины принадлежат промежутку . Если же значения случайной величины распределены по всей числовой оси , то

.

Из определения следует, что математическое ожидание случайной величины есть величина неслучайная, а постоянная. Кроме того, существуют случайные величины, у которых не существует.

В дальнейшем будет показано, что математическое ожидание приближённо равно среднему арифметическому всех возможных значений случайной величины, получаемых в результате опыта. Поэтому ещё называют средним значением случайной величины [7].

Легко сообразить, что математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений случайной величины. Другими словами, на числовой оси возможные значения случайной величины расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения случайной величины и поэтому его часто называют центром распределения (последний термин заимствован из механики).