Замечания

1. По определению тогда и только тогда, когда , где (действительные числа), .

2. Так как вектор , порождающий точку проективной прямой, ненулевой (), то хотя бы одна из его координат отличная от нуля.

3. Точка может порождаться бесконечным множеством векторов, любые два из них коллинеарны и, следовательно, имеют пропорциональные координаты.

Поэтому точка имеет в данной системе координат бесконечное множество пар координат.

Соответствующие координаты любой из этих пар пропорциональны, и их отношение определено однозначно.

Обозначение: .

Пример 1. На расширенной евклидовой прямой выбран проективные репер R, состоящий из собственных точек . Построить точку .

Решение:

1. .

2. .

3.(на прямых и как сторонах параллелограмма с диагональю ).

4. +3.

5. (точка порождается вектором ).

Так как точка порождается кроме вектора и любым ему коллинеарным вектором, например, вектором , то координаты всех таких векторов пропорциональны:

Числа любой из этих пар можно считать проективными координатами точки на проективной прямой.

Для того, чтобы подчеркнуть важность не самих проективных координат, а их отношений, пишут , а не .

Пример 2. поэтому

Имеет место важная теорема.

Теорема. Проективные координаты () произвольной точки проективной прямой в репере выражаются через её «новые» координаты () в репере формулами:

(1)

где произвольный ненулевой множитель и

(2)

Доказательство:

Пусть точки порождаются соответственно векторами . Тогда () – координаты вектора в базисе (), а () – координаты того же вектора в базисе (). Следовательно, их связывают формулы перехода от одного базиса к другому. Эти формулы имеют вид (1) при и условии (2).

Так как проективные координаты точки на проективной прямой определены с точностью до произвольного общего множителя (отличного от нуля), то в левой части формул (1) появляется множитель .