Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию y и ее производную в первой степени и не содержит их произведений.

- непрерывные заданные функции. (1)

Разделим почленно на a(x), получим

, ,

(2)

Существует несколько приемов решения линейного дифференциального уравнения. Мы изложим прием Иоганна Бернулли. Он основан на простом замечании, что любую величину y (переменную) можно представить в форме произведения двух сомножителей y=uv.

Уравнение (2) интегрируется с помощью подстановки

(3), (4)

Подставив (3) и (4) в уравнение (2), получим

Сгруппируем члены в левой части равенства

Определим функцию u так, чтобы коэффициент при v обратился в ноль.

Тогда

Решая (5) находим частное решение, а решая (6) – общее решение.

Методом Бернулли решение уравнения (2) сводится к решению двух уравнений с разделяющими переменными.

а) Решение (5):

; ; ; ; (7)

б) Решение (6):

(8)

Возвращаясь к переменной y, получим

(9)

Пример: Проинтегрировать уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на х.

; ;

Подстановка: , ,

,

1) 2)

Решение (1): , , , ,

Решение (2): , ,

Общее решение данного уравнения имеет вид: