Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие понятия

Лекция № 29-33

Список используемой литературы

Вопросы для самопроверки

1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
2. Геометрический смысл дифференциального уравнения.
3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющими переменными.
4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.1. – М.: ОНИКС. 2003. – 304 с.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.2. – М.: ОНИКС. 2003 – 415 с
3. Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с
4. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.
5. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М.,2001, - 208 с.
6. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с.

Тема «Дифференциальные уравнения второго порядка»

Цель: дать понятия однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Ключевые слова: линейные неоднородные и линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Вопросы:

1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие понятия.

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка (1)

а разрешенного относительно старшей производной будет:

(2)

Общее решение (3)

Уравнение (3) содержит две произвольные постоянные .

Геометрически общее решение (3) представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящих от двух независимых параметров .

Через каждую точку М(х_0,у₀) плоскости x0y проходит пучок интегральных кривых. Чтобы из этого семейства интегральных кривых выделить одну определенную интегральную кривую L, недостаточно указать точку через которую должна проходить эта последняя кривая, а следует указать еще направление, в котором

(4)

Приходим к таким начальным условиям

(5)

Из системы (5) можно определить и тем самым найти частное решение (6)

удовлетворяющее нашему уравнению (2) и заданным начальным условиям:

(7)