Две основные задачи динамики точки. Интегралы уравнений движения

Первая задача состоит в том, чтобы по заданному закону движения точки массой m определить силу, под действием которой происходит это движение.

Вторая задача состоит в определении движения точки по заданным силам и начальным условиям движения, при этом силы должны быть выражены как функции переменных, используемых для задания движения.

Решение этой задачи сводится к интегрированию диф. уравнений второго порядка, в процессе которого в решениях появляются произвольные постоянные.

В задаче о движении точки в трехмерном пространстве общие решения будут содержать шесть произвольных постоянных:

Если начальные условия поставлены для начальных значений функций и их первых производных, т.е. в виде

то задача Коши имеет единственное решение. Т.о. приложенные к точке силы определяют только её ускорение, движение же точки помимо сил зависит от начальных условий – положения точки в рассматриваемой инерциальной системы отсчета и её скорости.

Первым интегралом системы дифференциальных уравнений (1) называется функция

Выражение

называется производной по времени функции, вычисленной в силу дифференциальных уравнений (1).

Для того чтобы полностью найти закон движения материальной точки, достаточно найти шесть функционально независимых первых интегралов.

Пусть

- шесть независимых первых интегралов системы (1).

Т.к. по условию - функционально независимы получаем общее решение системы: