2014-02-24
1112
Функция 
называется неявной, если она задается уравнением
(1)
неразрешенным относительно 
. Найдем частные производные 
и 
неявной функции , заданной уравнением (1). Для этого, подставив в уравнение вместо функцию 
, получим тождество
.
Частные производные по 
и по 
функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:
(
считаем постоянным),
(
считаем постоянным),
откуда
и 
, 
. (2)
Замечания.
1. Уравнение вида (1) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение 
определяет функции 
и 
, определенные в круге 
, 
, определенную в полукруге при 
и т.д., а уравнение 
не определяет никакой функции.
Теорема существования неявной функции двух переменных: если функция 
и ее производные 
, 
, 
определены и непрерывны в некоторой окрестности точки 
, причем 
, а 
, то существует окрестность точки 
, в которой уравнение (1) определяет единственную функцию , непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки 
и такую, что 
.
2. Неявная функция 
одной переменной задается уравнением 
. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле
|
|
|
(
).
