Тема 4. Производная сложной функции. Полная производная

Пусть – функция двух переменных и , каждая из которых является функцией независимой переменной : . В этом случае функция является сложной функцией одной независимой переменной ; переменные и – промежуточные переменные.

Теорема. Если – дифференцируемая в точке функция и – дифференцируемые функции независимой переменной , то производная сложной функции вычисляется по формуле

. (1)

Частный случай: , где , т.е. – сложная функция одной независимой переменной . Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной играет . Согласно формуле (1) имеем:

или

. (2)

Формула (2) носит название формулы полной производной.

Общий случай: , где , . Тогда – сложная функция независимых переменных и . Ее частные производные и можно найти, используя формулу (1) следующим образом. Зафиксировав , заменяем в ней соответствующими частными производными :

(3)

Аналогично получаем:

.

Таким образом, производная сложной функции () по каждой независимой переменной (и ) равна сумме произведений частных производных этой функции () по ее промежуточным переменным (и ) на их производные по соответствующей независимой переменной (и ).