Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция дифференцируема в точке некоторой области .
Проводя аналогичные рассуждения для сечения , построим касательную к кривойв точке . Прямые и определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке .
Составим ее уравнение. Так как плоскость проходит через точку , то ее уравнение может быть записано в виде
,
которое можно переписать так:
.
Разделив уравнение на и обозначив , получим
. (1)
Найдем и .
Уравнения касательных и имеют вид
;
соответственно.
Касательная лежит в плоскости , следовательно, координаты всех точек удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы
Разрешая эту систему относительно , получим, что .
Проводя аналогичные рассуждения для касательной , легко установить, что .
Подставив значения и в уравнение (1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:
. (2)
Определение. Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.
|
|
Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали:
. (3)
Если поверхность задана уравнением , то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции:
,
примут соответственно вид
и
.
Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т.е. не особых, точек поверхности. Точка поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.