Многокритериальные задачи и способы их решения

Основные типы линейных экономико-математических моделей

Выделяют основные типы экономико-математических моделей:

1 Модель общих задач линейного программирования;

2 Модель транспортных задач линейного программирования;

3 Модель распределительных задач линейного программирования;

4 Модель ассортиментных задач линейного программирования.

Модель общих задач линейного программирования имеет следующий вид:

- норма расхода i-го ресурса на производство j-го продукта;

запас i-го ресурса;

оценка переменной целевой функции;

значение отыскиваемых переменных;

Модель общих задач линейного программирования применяется для решения задач степени использования сырья, определение оптимального плана выпуска и т.д.

Сущность транспортной задачи линейного программирования состоит в наивысшем прикреплении поставщиков одного груза ко многим потребителям этого груза.

Условие транспортной задачи записывается в виде матрицы, в которой потребители размещаются по столбцам, а поставщики по строкам. В последнем столбце пишут запас груза, а в последней строке потребности потребителей.

Математическая задача по критериям стоимости формируется следующим образом:

- затраты на перевозку 1т груза от i-го поставщика j-му потребителю;

- это размер поставки от i-го поставщика j-му потребителю;

- мощность i-го поставщика;

- мощность j-го потребителя;

Модель транспортной задачи линейного программирования используется не только для планирования операций по перевозке груза, но и для оптимизации размещения производства планов загрузки оборудования, распределение сельскохозяйственных культур по участкам различного плодородия и т.д.

Распределительная модель. Эту модель называют обобщенной транспортной задачей, применяют при решении задач взаимозаменяемых ресурсов. Она имеет следующий вид:

- себестоимость изготовления 1-го изделия j-го вида на i-ом оборудовании;

- затраты станочного времени при обработке 1-го изделия j-го вида на i-ом оборудовании;

- фонд времени работы i-го оборудования;

- необходимое количество изделий j-го вида;

- количество изделий j-го вида, обработанных на i-ом оборудовании.

Ассортиментная задача используется, как правило, для определения максимального количества комплектующих изделий.

Модель задачи и система ограничений имеет вид:

- время обработки 1-го изделия j-го вида на i-ом оборудовании;

- фонд времени работы i-го оборудования;

- количество изделий j-го вида, входящих в комплект.

Модель задачи, имеющая несколько критериев, называется многокритериальной.

Многокритериальные задачи возникают в следующих случаях:

1 когда рассматривается задача оптимизации на множество целей (составление рабочего плана предприятия, когда одним из критериев плана является себестоимость);

2 когда рассматривается задача оптимизации на множество объектов (распределение дефицитного сырья между несколькими предприятиями);

3 когда рассматривается задача оптимизации на множество условий функционирования объекта (когда задается ряд условий, в которых предстоит работать объекту и применительно к каждому условию применяется ряд объектов);

4 когда рассматривается задача оптимизации на множество этапов функционирования объектов, в данном случае рассматривается функционирование объекта на некотором интервале времени, который разбит на ряд этапов и каждый этап оценивается частным критерием оптимизации (распределение квартального плана по месяцам).

Математическую модель многокритериальной задачи можно представить в следующем виде:

где - вектор переменных;

- локальные критерии, заданные в виде целевой функции;

- глобальный критерий целевой функции.

Если одна из локальных функций принимает максимальное значение, то остальные функции максимального значения принимать не могут, поэтому решения многокритериальных задач основываются на компромиссном решении.

При решении многокритериальной задачи необходимо решить ряд проблем:

1 проблема нормализации – возникает в связи с тем, что локальные критерии имеют различные единицы и масштабы применения;

2 проблема выбора принципа оптимальности – связана с решением вопроса, в каком смысле оптимальное решение превосходит все остальные;

3 проблема учета приоритета критериев – связана с тем, что необходимо найти математическое определение приоритета и степень его влияния на решение задачи;

4 проблема вычисления оптимума – возникает, если традиционные вычислительные алгоритмы не пригодны для решения задачи векторной оптимизации.

Существуют следующие методы решения многокритериальных задач: