Постановка экономической задачи. Математические модели спроса и издержек

Применение средств дифференциального исчисления при разработке тактики коммерческой фирмы

В экономической деятельности часто возникает необходимость поиска оптимальных (предпочтительных в некотором смысле) решений. Как правило, оптимальность предполагает обеспечение max (максимума) или min (минимума) оптимизируемых показателей. Так, в условиях рыночной экономики, коммерческая фирма оптимизирует свою деятельность по основным ее показателям: по уровням затрат Z, по цене р на товар, по объему продаж х.

Критериями оптимизации, являются: максимум общей выручки W (х) от продаж maxW (х), максимум дохода П (х) от продаж maxП (x), минимум затрат Z (x): minZ (x), и т.д.

Рассмотрим простейшие оптимизационные задачи, описывающие тактику коммерческой фирмы для двух моделей рынка: для условий монопольной торговли и условий совершенной конкуренции.

В качестве исходных данных будем использовать функцию издержек Z (х), функцию цены р (х) от спроса на товар (в условиях монопольной конкуренции), равновесную рыночную цену р _о (в условиях совершенной конкуренции). При этом учтем экономический характер перечисленных функций. Функция издержек является возрастающей, т.к. с увеличением объема продаж, расходы по его реализации растут. Различают постоянные затраты, не зависящие от объема продаж х (плата за аренду, зарплата управленческого персонала и т.п.) и условно переменные затраты, зависящие от объема продаж х (расходы на закупку товара, топливо, зарплату продавцов и т.п.). Перечисленным условиям удовлетворяют следующие модели издержек Z (x).

I Линейная модель

II Квадратичнаямодель

Здесь - постоянные затраты, и - условно переменные затраты, которые, при реализации единицы продукции остаются постоянными в модели I, и возрастают с ростом объема продаж в модели II.

Согласно закона понижающегося спроса: по мере увеличения цены товара р спрос х на данный товар снижается. Поэтому функция р (х) является монотонно убывающей.

Линейная модель	Гиперболическая модель (в этих моделях - предельная цена товара)
х х р	со сдвигом х х р	без сдвига , р х х р