2014-02-09
721
Задача 1 Провести анализ математической модели тактики коммерческой фирмы-монополиста на рынке товаров, если функция цены р от спроса х имеет вид 
, а затраты по реализации товара описывается функцией издержек 
, где х - объем продаж. Выполнить задания:
а) найти оптимальные значения объема продаж 
и цены товара 
, обеспечивающие максимум общей выручки от продаж, оценить величину maxW (x);
б) определить интервалы значений объемов продаж х, в которых деятельность коммерческой фирмы будет прибыльной (убыточной);
в) найти оптимальные значения объема продаж 
и цены товара 
, обеспечивающие коммерческой фирме максимум дохода от продаж maxП (х), найти maxП (х);
г) дать геометрическую инерпретацию полученных выше результатов.
Решение а) Найдем функцию общей выручки 
, имеем 
. Тогда предельная выручка при объеме продаж х составляет 
. Для нахождения оптимального объема продаж решим уравнение 
, 
, откуда получаем х = 60.
Заметим, что 
, следовательно в точке х = 60 функция выручки W (x) имеет максимальное значение и 
- оптимальный объем продаж. Тогда 
р. - оптимальная цена единицы товара и 
р. - максимальная общая выручка.
|
|
|
б) Деятельность коммерческой фирмы будет прибыльной при объемах продаж х, удовлетворяющих условию 
. Найдем точки безубыточности, решив уравнение 
. Имеем 
,
, 
, 
, 
, 
.
При объеме продаж 
фирма будет получать доход 
, при объемах продаж 
деятельность фирмы убыточна.
в) Для определения оптимальных объема продаж и цены товара , обеспечивающих фирме максимум дохода  , найдем решение уравнения 
 ,  .
При этом ,  , т.е.  - при любом объеме продаж х, в том числе и при х = 40, тогда  и
 р.
| W (x) Z (x) 
0    х
30 40 50 60
|
Т.о., при продаже 40 единиц товара по цене 800 р. фирма получит максимальный доход в размере 1500 р.
Задача 2 Провести анализ математической модели тактики коммерческой фирмы в условиях совершенной конкуренции, если равновесная рыночная цена составляет р о = 700 р., а издержки фирмы по реализации товара описывается функцией .
а) Определить интервалы значений объемов продаж, при которых деятельность фирмы будет прибыльной (убыточной). Найти оптимальный объем продаж ,обеспечивающий фирме максимум дохода.
б) Определить, при каких значениях параметра 
функции издержек 
фирма будет иметь убытки при любых объемах продаж х. Представить полученные результаты графически.
в) При каких значениях рыночной цены р о фирма будет иметь прибыль хотя бы при некоторых объемах продаж.
г) При каких значениях параметра 
фирма будет иметь доходы хотя бы при не которых объемах продаж.
Решение а) Интервал прибыльности продаж найдем из условия 
. Учтем, что в условиях совершенной конкуренции 
, тогда имеем 
.
|
|
|
Найдем координаты точек безубыточности, как корни уравнения 
или 
,
, 
, 
, 
.
Т.о., при объемах продаж  фирма будет получать доходы, а при объемах продаж  деятельность фирмы является убыточной. Найдем оптимальный объем продаж , беспечивающий максимальный доход из условия  , имеем  ,  , х = 70.
Т.к.  ,  , то  при х = 70, тогда  . Т.о., при объеме продаж по рыночной цене р о = 700 р. коммерческая фирма получит максимальный доход в размере
|  W (x) Z (x) 
49000 
0 х
5 0 70 90
|
б) Если при любых объемах продаж выполняется условие 
или 
лишь в одной точке, фирма будет иметь только убытки. В этом случае квадратное уравнение 
должно иметь не более одного корня, что возможно, когда 
, 
. Т.о., фирма имеет убытки при любых объемах продаж х, если ее условно постоянные затраты превысят или достигнут значение 24500 р.
в) Фирма будет иметь прибыль хотя бы при некоторых объемах продаж, если уравнение  имеет два корня, т.е.  . Проверим выполнение этого условия  , откуда  .
|  
670,8 
|
г) Фирма будет иметь доходы хотя бы при не которых объемах продаж, если 
, т.е. 
,
, 
, 
.
Фирма будет иметь доходы при 
, терпит убыток при 
.
