Пусть коммерческая фирма является монополистом, т.е. она единственная торгует на рынке некоторым товаром. Необходимо вырабатывать такую тактику торговли, при которой будет получен максимальный доход П (х), зависящий от объема продаж х, цены товара р (х), издержек от реализации этого товара Z (x).
Пусть р (х) - зависимость цены товара от объема продаж х, тогда общая выручка составит
.
Доход от продажи товара в объеме х представляет разницу между общей выручкой W (х) и издержками Z (x), т.е. . Т.о., доход зависит от цены товара и объема х его продаж.
Необходимо выяснить, какова должна быть тактика коммерческой фирмы в отношении цены р (х) и объема продаж х, чтобы получить максимальную выручку W (х), а значит и максимальную прибыль П (х).
Предельной вырцчкой при заданном объеме продаж х называется относительный показатель прироста выручки D W (х) при увеличении объем продаж на величину , т.е. величина
.
Предельными издержками называют относительный показатель прироста затрат D Z (х) по реализации товара при увеличении объема продаж с х до х +при
|
|
.
Если Z (x) = const, т.е. издержки по реализации товара зафиксированы на одном уровне, не зависящем от объема продаж, то предельные издержки равны нулю при любом объеме продаж х.
Задача 1 Исследуем на максимум функцию выручки W (x). При объеме продаж выручка . Если же объем продаж возрастает то выручка W (х) может: 1) неограниченно возрастать , 2) асимтиотически стремиться к некоторому пределу , 3) сначала увеличивается до некоторого значения W (a), а затем снижаться, т.е. функция W (х) имеет локальный максимум в точке х = а и существует оптимальный объем продаж , обеспечивающий максимальное значение выручки max W (x). | W (x) W (а) а х |
В первом и втором случаях не существует.
Пусть W (х) имеет . Найдем . Функция W (х) достигает своего наибольшего значения в т. экстремума, который возможен в точках, удовлетворяющих условию , тогда
, ,
, ,
, ,
или .
Пусть - решение полученного уравнения. В этой точке возможен экстремум функции W (x), который подтвердится при выполнении условия . Тогда .
Задача 2 Исследуем на максимум функцию дохода П (х). Пусть при .
Деятельность коммерческой фирмы приносит доход П (х) > 0, если W (х) > Z (x), убыточна, если W (х) < Z (x).
Согласно второму достаточному условию существования локального экстримума, функция П (х) имеет локальный максимум при , если выполняются условия и . Для отыскания необходимо решить систему или
Т.о. для достижения максимального дохода следует установить такую цену р (х) и объем продаж х, чтобы предельные издержки были равны предельной выручке . При этом скорость роста предельной выручки должна быть меньше скорости роста предельных издержек .
|
|
За.мечание Величины , обеспечивающие максимум функции выручки W (х) не будут совпадать с величинами , обеспечивающими максимум функции дохода П (х).