2014-02-09
591
Пусть коммерческая фирма является монополистом, т.е. она единственная торгует на рынке некоторым товаром. Необходимо вырабатывать такую тактику торговли, при которой будет получен максимальный доход П (х), зависящий от объема продаж х, цены товара р (х), издержек от реализации этого товара Z (x).
Пусть р (х) - зависимость цены товара от объема продаж х, тогда общая выручка 
составит
.
Доход 
от продажи товара в объеме х представляет разницу между общей выручкой W (х) и издержками Z (x), т.е. 
. Т.о., доход 
зависит от цены товара и объема х его продаж.
Необходимо выяснить, какова должна быть тактика коммерческой фирмы в отношении цены р (х) и объема продаж х, чтобы получить максимальную выручку W (х), а значит и максимальную прибыль П (х).
Предельной вырцчкой при заданном объеме продаж х называется относительный показатель прироста выручки D W (х) при увеличении объем продаж на величину 
, т.е. величина
.
Предельными издержками называют относительный показатель прироста затрат D Z (х) по реализации товара при увеличении объема продаж с х до х +
при
.
Если Z (x) = const, т.е. издержки по реализации товара зафиксированы на одном уровне, не зависящем от объема продаж, то предельные издержки равны нулю 
при любом объеме продаж х.
Задача 1 Исследуем на максимум функцию выручки W (x). При объеме продаж  выручка  . Если же объем продаж возрастает  то выручка W (х) может: 1) неограниченно возрастать  ,
2) асимтиотически стремиться к некоторому пределу  ,
3) сначала увеличивается до некоторого значения W (a), а затем снижаться, т.е. функция W (х) имеет локальный максимум в точке х = а и существует оптимальный объем продаж  , обеспечивающий максимальное значение выручки max W (x).
|  W (x)
W (а)
а х
|
В первом и втором случаях не существует.
Пусть W (х) имеет . Найдем . Функция W (х) достигает своего наибольшего значения в т. экстремума, который возможен в точках, удовлетворяющих условию 
, тогда
, 
,
, 
,
, 
,
или 
.
Пусть 
- решение полученного уравнения. В этой точке возможен экстремум функции W (x), который подтвердится при выполнении условия 
. Тогда 
.
Задача 2 Исследуем на максимум функцию дохода П (х). Пусть 
при 
.
Деятельность коммерческой фирмы приносит доход П (х) > 0, если W (х) > Z (x), убыточна, если W (х) < Z (x).
Согласно второму достаточному условию существования локального экстримума, функция П (х) имеет локальный максимум при 
, если выполняются условия 
и 
. Для отыскания 
необходимо решить систему 
или 
Т.о. для достижения максимального дохода следует установить такую цену р (х) и объем продаж х, чтобы предельные издержки 
были равны предельной выручке 
. При этом скорость роста предельной выручки 
должна быть меньше скорости роста предельных издержек 
.
За.мечание Величины 
, обеспечивающие максимум функции выручки W (х) не будут совпадать с величинами 
, обеспечивающими максимум функции дохода П (х).
