Норма матриц. Матричные ряды

Под абсолютной величиной (модулем) матрицы A = [ a_ij ] понимается матрица

Под нормой матрицы A = [ a_ij ]понимается действительное число || А ||, удовлетворяющее условиям:

a) || А ||>0, причем || А ||=0 тогда и только тогда, когда A = 0;

6) || А ||=| a |∙|| А || (a — число) и, в частности, ||- А || =|| А ||;

в) || А+В ||<|| А ||+|| В ||;

г) || АB ||<|| А ||∙|| В ||.

(A и В — матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл). В частности, для квадратной матрицы имеем || А^p || < || А || ^p , где р —натуральное число.

Отметим еще одно важное неравенство между нормами матриц А и В одинакового типа. Применяя условие в), будем иметь:

|| В || = || А+ (В-А)||<|| А ||+|| В-А ||.

Отсюда

|| А-В || = || В - А || > || В ||-|| А ||.

Аналогично

|| А-В|| > ||А ||-|| В ||.

Следовательно,

|| А-В || >