Необходимое условие сходимости матричного ряда

В||-||А. Назовем норму канонической, если дополнительно выполнены условия: д) если А = [аij], то |aij| < ||А||, причем для скалярной матрицы A = [a11] имеем ||А|| = |a11|; e) из неравенства |А| < |В| (A и B — матрицы) следует нepaвенство ||А|| < ||В||. B частности, ||А|| = || | А | ||. B дальнейшем для матрицы А = [aij] произвольного типа мы будем рассматривать главным образом три легко вычисляемые нормы: 1) ||А||m = |aij| (m - норма); 2) ||А||l = |aij| (l - норма); 3) ||А||k = (k - норма). В частности, для вектора эти нормы имеют следующие значения: (абсолютная величина вектора). Если компоненты вектора действительны, то имеем просто: Пусть имеется последовательность матриц Ak=[aij(k)] (k = 1, 2, …) (1.1) одного и того же типа m×n (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n). Под пределом последовательности матриц Ak понимается матрица (1.2) Последовательность матриц, имеющая предел, называется сходящейся. Лемма 1.1. Для сходимости последовательности матриц Ak (k=1, 2,...) к матрице A нeoбходимо и достаточно, чmoбы при,(1.3) гдe ||А|| — любая каноническая норма матрицы A. При этом Действительно, если Ak→A=[aij], то |aij-aij(k)|<εпри k>N (ε). Отсюда |A-Ak|<εI где I — матрица типа m ×n, все элементы которой равны единице. B силу свойств ноpмы имеем: |A-Ak|≤ε||I|| при k>N(ε), следовательно, (1.4) Обратно, пусть выполнено условие (1.3). Тогда при k>N(ε) имеем: |aij-aij(k)|≤||A-Ak||<ε и, следовательно, т.е. Кроме того, если Ak→A, то имеем: | ||A||-||Ak|| |≤||A-Ak||→0 при k→∞. Поэтому . Следствие. Последовательность Ak→0 приk→∞ тогда и только тогда, когда. Пользуясь понятием предела матрицы, можно ввести в рассмотрение матричные ряды , (1.5) где Ак — матрицы одного и того же типа. Если предел (1.5) существует, то матричный ряд называется сходящимся, и матрица, полученная в пределе, называется суммой этого ряда. Если предела (1.5) не существует, то матричный ряд называется расходящимся и ему не приписывается никакой суммы.

Теорема 1.1. Если матричный ряд (1.5) сходится, то .