double arrow

Решение систем линейных алгебраических уравнений методами простой итерации и Зейделя


Метод простой итерации.

Рассмотрим систему уравнений

(2.1)

Разделим каждое уравнение системы (2.1) на диагональный элемент. Получим систему

или в матричной форме

X=BX+G, (2.2)

где

, (2.3)

Данное преобразование системы (2.1) в систему (2.2) равносильно умножению системы (2.1) слева на матрицу

Таким образом, H=D-1,

где - диагональная матрица [a11,…,ann].

Выберем начальное приближение X(0)=G. Строим последовательные приближения по формулам

X(k)=BX(k-1)+G, (2.4)

k=1,2,3,… или в развернутом виде

.

Метод Зейделя.

Пусть система уравнений AX=F представлена в виде X=BX+G, где

B=E-A G=F.

Метод Зейделя похож на метод простой итерации с той лишь разницей, что при вычислении -го приближения для -й компоненты учитываются вычисленные уже ранее -е приближения для компонент x1(k),…,xi-1(k).

Вычисление последовательных приближений ведется по формулам

(2.5)

Установим связь между методом Зейделя и методом простой итерации. Для этого матрицу В представим в виде суммы двух матриц: B=H+F, где

; .

Правило Зейделя в матричной форме перепишется в виде:

или ; , т.е. метод Зейделя эквивалентен методу простой итерации с матрицей (E-H)-1F.







Сейчас читают про: