Если степень аппроксимирующего полинома больше трех, то вычисление по способу наименьших квадратов становится очень громоздким. Поэтому был создан новый метод построения аппроксимирующего полинома. В основе этого нового метода лежит понятие об ортогональных функциях.
Определение. Функции φ(х) и ψ(х) называются ортогональными на множестве точек Х={х0, х1,..., хп}, если
Система функций { φi(x) } называется ортогональной на данном множестве X, если функции системы попарно ортогональны между собой на множестве X.
Очевидно, функция φ(x), обращающаяся в нуль в точках х0, х1,..., хп, ортогональна на этом множестве точек к любой другой функции. В дальнейшем предположим, что не все точки xi (i = 0,1,..., n) являются нулями рассматриваемых функций φk (х), т.е.
Пусть
(14.5)
- заданная система ортогональных на множестве {х0, х1,..., хп} полиномов, т.е.
при (14.6)
причем индексы полиномов соответствуют их степеням. Предположим, что
(14.7)
Так как полиномы Pj(x) (j=0, 1,2,..., т) линейно независимы, то произвольный полином Qm(х) степени т можно представить в виде линейной комбинации полиномов из системы (14.5), т. е.
|
|
(14.8)
Это представление называется разложением полинома Qm(x) по системе (14.5).
Можно дать явные формулы для коэффициентов bо, b1,..., bт. Умножим тождество (14.8) на полином Pk(x) (k≤m) и просуммируем полученное равенство по системе точек х0, х1,...,хп. Тогда
Отсюда, учитывая условия ортогональности (14.6), находим
и, следовательно,
Вернемся к задаче аппроксимирования заданной функции у=f(х) на множестве точек х0, х1,,... ,хп полиномом данной степени т (т≤п). Искомый полином Qm (x), для которого квадратичное отклонение
будем искать в форме (14.8). Отсюда
(14.9)
Преобразуем выражение (14.9). Возводя в квадрат выражение, стоящее в квадратных скобках, получим
(14.10)
Но в силу условий ортогональности (14.6)
Поэтому, вводя обозначение
и используя обозначение (14.7), будем иметь
Выражение, стоящее в круглых скобках под знаком первой сумма, дополним до полного квадрата:
Тогда
(14.11)
В выражении (14.11) коэффициенты b0, b1... ,bт нужно подобрать так, чтобы квадратичное отклонение S было минимальным.
Заметим, что последние две суммы в формуле (14.11) не зависят от выбора коэффициентов bо, b1,,.., bт, Поэтому минимальное значение S достигается для тех коэффициентов bj, для которых является минимальной сумма
что, очевидно, будет при
(14.12)
Отсюда искомый аппроксимирующий полином имеет вид
причем квадратичное отклонение S этого полинома от данной функции y=f(x) на множестве точек , как вытекает из формулы (14.11), дается формулой