2014-02-24
1171
Метод наименьших квадратов. При точечном квадратичном аппроксимировании за меру отклонения полинома
(14.1)
от данной функции y=f(x) на множестве точек х0, x1..., хп принимают величину
(14.2)
называемую квадратичным отклонением (способ наименьших квадратов).
Для построения аппрксимирующего полинома требуется подобрать коэффициенты 
так, чтобы величина S была наименьшей. Предполагаем, что 
. В случае m=n коэффициенты 
(j=0,1,2,…,m) можно определить из системы уравнений
при i=0,1,2,,…,m, (14.3)
причем S = 0, и приходим к разобранной выше проблеме интерполирования функций. При т≤п система (14.3), вообще говоря, несовместна. Кроме того, следует иметь в виду, что во многих случаях значения функции f(x) определяются экспериментально и содержат ошибки, поэтому сама постановка вопроса о точном решении системы (14.3) теряет смысл.
Для решения нашей задачи аппроксимирования воспользуемся общим приемом дифференциального исчисления. А именно, найдем частные производные от величины
где уi=f(хi), по всем переменным а0, а1..., ат.
|
|
|
Приравнивая эти частные производные нулю, получим для определения неизвестных а0, а1,..., ат систему m +1 уравнений с m +1 неизвестными:
(14.4)
