Оценка погрешности интерполяционных формул

Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа. Для функции y = f(x) мы построили интерполяционный полином Лагранжа L_n(x), принимающий в точках х₀, х_1,…, х_п заданные значения

Возникает вопрос, насколько близко построенный полином приближается к функции f(x) в других точках, т. е. как велик остаточный член

Для определения этой степени приближения наложим на функцию у = f(x) дополнительные ограничения. Именно, мы будем предполагать, что в рассматриваемой области а≤х≤b изменения х, содержащей узлы интерполирования, функция f(x) имеет все производные f '(x), f "(x),…,f^{(n +1 )} (х) до (п+ 1)-го порядка включительно.

Введем вспомогательную функцию

(13.1)

где k — постоянный коэффициент, который будет выбран ниже. Функция и(х), очевидно, имеет п+1 корень в точках

Подберем теперь коэффициент k так, чтобы и(х) имела (n +2)-й корень в любой, нофиксированной точке отрезка [a,b], несовпадающей с узлами интерполирования (рис. 10). Для этого достаточно положить

Отсюда, так как , то

(13.2)

рис. 10

При этом значении множителя k функция u(х) имеет п+2 корня на отрезке [а, b] и будет обращаться в нуль на концах каждого из отрезков

Применяя теорему Ролля к каждому из этих отрезков, убеждаемся, что производная и' (х) имеет не менее п+ 1 корня на отрезке [а, b]. Применив теорему Ролля к производной и'(х), мы убедимся, что вторая производная и" (х) обращается в нуль не менее п раз на отрезке [а, b].

Продолжая эти рассуждения, придем к заключению, что на рассматриваемом отрезке [а, b] производная и⁽ⁿ⁺¹⁾ (х) имеет хотя бы один корень, который обозначим через ξ, т. е, u ^{( n +1)}(ξ)= 0.

Из формулы (13.1), так как

и ,

имеем:

При получаем:

Отсюда

(13.3)

Сравнивая правые части формул (13.2) и (13.3), будем иметь:

т.е.

(13.4)

Так как произвольно, то формулу (13.4) можно записать и так:

(13.5)

где зависит от x и лежит внутри отрезка [а, b].

Отметим, что формула (13.5) справедлива для всех точек отрезка [а,b], в том числе и для узлов интерполирования.

Обозначая через

,

мы получаем следующую оценку для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа:

(13.6)

где

(13.7)

Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона. Если узлы интерполирования x₀, х₁,..., х_п —равноотстоящие, причем x_i+1-x_i=h (i = 0, 1, 2,...n —1), то, полагая

получим остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона

(13.8)

где ξ — некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования х₀, х₁,.... х_п и рассматриваемой точкой х. Аналогично, полагая

получим остаточный член второй интерполяционной формулы Ньютона

где ξ— некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования х₀, х₁,…,х_п и точкой х.

Обычно при практических вычислениях интерполяционная формула Ньютона обрывается на членах, содержащих такие разности, которые в пределах заданной точности можно считать постоянными.

Предполагая, что Δ ⁿ⁺¹у почти постоянны для функции y= f(x) и h достаточно мало, и учитывая, что

В этом случае остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона приближенно равен

В этих же условиях для остаточного члена второй интерполяционной формулы Ньютона получаем выражение