Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .
Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.
На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).
Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.- , где k – произвольная константа.
Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.
|
|
Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.
Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:
- первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
- второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.
· Точно так же из формулы
·
· следует, что
·
·
·
· и т. д.
· Остановимся теперь на другой форме замены переменной. Пусть f (x) - непрерывная функция, заданная на каком-нибудь промежутке [ a, b ]. Допустим, что x = φ (t) есть функция, заданная на другом промежутке [ α, β ], имеющая там производную φ '(t) и удовлетворяющая неравенствам a ≤ φ (t) ≤ b. Пусть, кроме того, существует обратная функция t = ψ (x), заданная на [ a, b ]. Рассмотрим интеграл
·
· Согласно сказанному выше для нахождения этого интеграла нужно переписать его в форме
|
|
·
· и заменить φ (t) через x, что приведет нас к интегралу
·
· Этот последний интеграл заведомо существует (т. к. f (x), будучи непрерывной, имеет первообразную). Пусть
·
· Тогда, применяя 1-е правило подстановки к интегралу I 1, получим:
· I 1 = A [ φ (t)] + C.
· Пусть A [ φ (t)] = F (t). Заменяя здесь t через ψ (t) и замечая, что φ [ ψ (t)] = x, находим:
· A (x) = F [ ψ (t)].
· Отсюда вытекает, что
·
· Если еще заметить, что F (t) есть не что иное, как A [ φ (t)], т. е. первообразная для f [ φ (t)] φ '(t), то сможем формулировать
· Взаимное расположение двух прямых
· Если прямые заданы уравнениями и то они:
· 1) параллельны (но не совпадают)
· 2) совпадают
· 3) пересекаются
· 4) скрещиваются
· Если то случаи 1 - 4 имеют место, когда ( - знак отрицания условия):
· 1)
· 2)
· 3)
· 4)
·
Расстояние между двумя параллельными прямыми
·
· В координатах
·
·