Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с плюса на минус, то x 0 - точка максимума.
Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума.
План исследования функции. Для построения графика функции нужно:
1) найти область определения и область значений функции,
2) установить, является ли функция чётной или нечётной,
3) определить, является ли функция периодической или нет,
4) найти нули функции и её значения при x = 0,
5) найти интервалы знакопостоянства,
6) найти интервалы монотонности,
7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,
8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек
и при больших значениях модуля x.
П р и м е р. Исследуйте функцию f (x) = x 3 + 2 x 2 - x - 2 и постройте график.
Р е ш е н и е. Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.
1) область определения x R (x – любое действительное число);
область значений y R, так как f (x) – многочлен нечётной
степени;
2) функция f (x) не является ни чётной, ни нечётной
(поясните, пожалуйста);
3) f (x) – непериодическая функция (докажите это сами);
4) график функции пересекается с осью Y в точке (0, – 2),
так как f (0) = - 2; чтобы найти нули функции нужно
решить уравнение: x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, один из корней
которого (x = 1) очевиден. Другие корни находятся
(если они есть!) из решения квадратного уравнения:
x 2 + 3 x + 2 = 0, которое получено делением многочлена
x 3 + 2 x 2 - x - 2 на двучлен (x – 1). Легко проверить,
что два других корня: x 2 = -2 и x 3 = -1. Таким образом,
нулями функции являются: -2, -1 и 1.
5) Это значит, что числовая ось делится этими корнями на
четыре интервала знакопостоянства, внутри которых
функция сохраняет свой знак:
Этот результат может быть получен разложением
многочлена на множители:
x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)
и оценкой знака произведения методом интервалов.
6) Производная f’ (x) = 3 x 2 + 4 x -1 не имеет точек, в которых
она не существует, поэтому её область определения R (все
действительные числа); нули f’ (x) – это корни уравнения:
3 x 2 + 4 x - 1 = 0.
Полученные результаты сведены в таблицу: