Достаточные признаки монотонности функции

Если f ’(x) > 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастает на этом интервале.

Если f ’(x) < 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) убывает на этом интервале.

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

Следовательно, функция возрастает на интервалах (- , 0) и (1, + ) и убывает на интервале (0, 1). Точка x = 0 не входит в область определения функции, но по мере приближения x к 0 слагаемое x ^{- 2} неограниченно возрастает, поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке x = 1 значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции (рис.4 б).

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум (минимум или максимум, рис.5 а, б).

В точках x ₁ , x ₂ (рис.5 a) и x ₃ (рис.5 b) производная равна 0; в точках x ₁ , x ₂(рис.5 б) производная не существует. Но все они точки экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если x ₀ - точка экстремума функции f (x) и производная f’ существует в этой точке, то f’ (x ₀) = 0.

Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f (x) = x ³ равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке (рис.6).

С другой стороны, функция y = | x |, представленная на рис.3, имеет минимум в точке x = 0, но в этой точке производной не существует.