Двоичная (бинарная) система счисления

В компьютерах применяется, как правило позиционная двоичная система счисления, т.е. система счисления с основанием 2. Использует две цифры 0 и 1, а также символы "+" и "–" для обозначения знака числа и запятую(точку) для разделения целой и дробной части. Процессор обрабатывает информацию, которая представлена в виде электрических сигналов. Поэтому очень удобно для процессора кодировать числа с помощью всего двух состоянии: есть напряжение или нет напряжения сигнала. Присутствие напряжения называют уровнем логической единицы, отсутствие – уровнем логического нуля. Почему логического? Потому что, на самом деле, мы подразумеваем 0 или 1 под уровнем напряжения. Если в вашей квартире отключили электричество, то можно сказать, что в розетке присутствует уровень логического нуля. Таким обр., процессор кодирует все числа с помощью всего двух знаков: 0 и 1. Эти знаки называются двоичными цифрами, по английский – binary digit или сокращенно bit (бит).

Двоичная система счисления является минимальной системой, в которой реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи числа. В двоичной системе счисления значение каждой цифры по месту при переходе от любого данного разряда к следующему старшему увеличивается вдвое. Одним битом могут быть выражены два понятия: 0 или 1. Если количество битов увеличить до двух, то уже можно выразить четыре различных понятия:

00 01 10 11

Тремя битами можно закодировать восемь различных значений:

000 001 010 011 100 101 110 111

Увеличивая на единицу количество разрядов в системе двоичного кодирования, мы увеличиваем в два раза количество значений, которое может быть выражено в данной системе, то есть общая формула имеет вид: N = 2 ^m ,

где N – количество независимых кодируемых значений;

m - разрядность двоичного кодирования, принятая в данной системе.

Но предположим, что у нас в распоряжении всего две цифры 0 и 1. Можно ли выразить все числа с помощью всего двух цифр? Можно.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 / - 10 ^я

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 / - 2 ^я

История развития двоичной системы счисления – одна из ярких страниц в истории арифметики. Официальное «рождение» двоичной арифметики связывают с именем Г.В. Лейбница: он в 1703 году опубликовал статью, в которой были рассмотрены правила выполнения всех арифметических операций над двоичными числами. Но Лейбниц не рекомендовал двоичную систему для практических вычислений; он считал ее полезной лишь при рассмотрении теоретических вопросов.

До начала 30 – годов двоичная система счисления оставалась вне поля зрения прикладной математики. Потребность в создании простых по конструкции и надежных счетных устройств и удивительная простота двоичной арифметики привели к более глубокому изучению двоичной системы как системы, пригодной для аппаратурной реализации.

Первые двоичные вычислительные механические машины были построены во Франции и Германии. Пионером в проектировании вычислительных устройств двоичного действия на электронно-ламповой основе является инженер Дж. Атанасов. Одновременно с ним (1937 г) двоичную машину, но на релейной (электромагнитной) основе спроектировал Дж. Стибиц. В 1941 году немецкий инженер К. Цузе построил сначала механическую, а затем и релейную двоичную вычислительную машину.

Утверждение двоичной арифметики в качестве обще принятой основы при конструировании ЭВМ с программным управлением состоялось под влиянием работы А. Беркса, Х. Гольдстайна и Дж фон Неймана «О проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой». Работа была написана в 1946 году. В этой работе наиболее аргументировано обоснованы причины отказа от десятичной арифметики и перехода к двоичной системе счисления как основе машинной арифметики.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Главное достоинство двоичной системы в том, что сложение и умножение цифр легко моделировать, позволяет создать специфические алгоритмы вычитания и деления двоичных чисел, наиболее подходящие для аппаратной реализации.

В компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.