Шестнадцатеричная система счисления

Восьмеричная система счисления

Восьмеричную систему счисления можно рассматривать как более короткий вариант записи двоичных чисел, тк как число восемь является степенью числа два. В этой системе счисления используется восемь цифр 0,1,….7, а так же символы "+" и "–" для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Широко использовалась в программировании в 1950-70 гг. К настоящему времени практически полностью вытеснена шестнадцатеричной системой счисления, однако функции перевода числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках программирования.

Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, восьмерок, шестьдесят четверок и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в восемь раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В том случае разряды числа будут называться как восьмые, шестьдесят четвертые и так далее доли единицы.

Пример записи восьмеричного числа:

А₈ = 125,46₈ = 1*8² + 2*8¹ +5*8⁰ + 4*8^-1 + 6*8^-2 =64₁₀ + 16₁₀+ 5₁₀ +4₁₀/8₁₀ + 6₁₀ / 64₁₀ = 85,59375₁₀

Во второй строке приведенного примера фактически осуществлен перевод числа, записанного в восьмеричной форме в десятичное представление того же самого числа. То есть мы фактически рассмотрели один из способов преобразования чисел из одной формы в другую.

Так как в формуле используются простые дроби, то возможен вариант, что точный перевод из одной формы представления в другую становится невозможным. В этом случае ограничиваются заданным количеством дробных разрядов.

Эту систему счисления можно считать еще одним вариантом записи двоичного числа. В этой системе счисления используется 16 цифр. Здесь уже не хватает десяти цифр, поэтому приходится придумать недостающие шесть цифр. В их обычном смысле 0,1,2 … 9, а затемА=10, В=11, с=12, D=13, E=14, F=15. Также символы "+" и "–" для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM – совместимых компьютеров. С другой стороны, в некоторых языках сохранились и следы использования этой системы счисления в прошлом. Например, в романских языках (испанском, французском и др.) числительные от 11 до 16 образуются по одному правилу, а от 17 до 19 – другому. А в русском языке известен пуд, равный 16 килограммам.

Пример: 891₁₀ –?₁₆

891: 16 =55 остаток 11 (в 16-ой системе счисления 11=В)

55: 16 = 3 остаток 7

3: 16 = 0 остаток 3 Ответ: 37В₁₆

Пример: 3Е5А1₁₆ +?₁₀

3Е5А1₁₆ = 3*16^{4 +} Е*16³ + 5*16² + А *16¹ + 1*16⁰ = 3*65536+14*4096+5*256+10*16+1=

196608+57344+1280+160+1=255393₁₀

Естественным обобщением двоичной системы являются системы с основанием q = 8 и q = 16, наиболее употребляемые в программировании.

Взаимосвязь между системами счисления с основаниями q = 2, q = 8 и q = 16 определяется двумя теоремами:

Теорема 1. Для записи целого двоичного числа в системе счисления с основанием q = 2ⁿ достаточно данное двоичное число разбить на грани справа налево (т.е. от младших разрядов к старшим) по n цифр в каждой грани. Затем каждую такую грань следует рассмотреть как n – разрядное двоичное число и записать его как цифру в системе с основанием q = 2ⁿ.

Пример: число 101100001000110010₂ заменить равным ему числом восьмеричной системы счисления, т.е. системы с основанием q = 2³

101 100 001 000 110 010 101₂ = 5₈ 100₂ = 4₈ 001₂ = 1₈

5 4 1 0 6 2 000₂ = 0₈ 110₂ = 6₈ 010₂ = 2₈

Итак 101 100 001 000 110 010₂ = 541 062₈

Теорема 2. Для замены целого числа, записанного в системе с основанием q = 2ⁿ, равным ему числом в двоичной системе счисления, достаточно каждую цифру данного числа заменить n – разрядным двоичным числом.