Для перевода дробной части (или числа, у которого 0 целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной двоичной.
Перевод правильных дробей умножением на основание q2 новой системы счисления.
Пример 6. Перевести десятичную дробь А = 0,5625 в двоичную систему счисления (q2=2)
0,5625 10 -? 2 0, 5625*2
1 1250*2
0 2500*2
0 5000*2
1 0000
Ответ: 0,5625 10 – 0,10010 2
Пример 7. Перевести десятичную дробь А = 0,625 в двоичную систему счисления (q2=2)
Решение. 0,625 10 -? 2 0, 625*2
1 250*2
0 500*2
1 000
Ответ: 0,625 10 – 0,1010 2
Пример 8. Перевести двоичную дробь А2 = 0,1101 в десятичную систему счисления. Основание q2 изображается в двоичной системе эквивалентом q2=10102.
Решение. 0, 1101
b–1=8 1000 0010
b–2=1 1001 0100
b–3=2 0010 1000
b–4=5 0101 0000
Ответ: 0,11012 – 0,8125 10
или 0,1-1 1-2 0-3 1-4 = 1*2-1 +1*2-2 + 0*2-3 +1*2-4 = 1/ 21+1/22+0/23+1/24=13/16 = 0,8125 10
Для перевода неправильных дробей из одной системы счисления в другую необходим раздельный перевод целой и дробной частей по правилам, описанным выше. Полученные результаты записывают в виде новой дроби в системе с основанием q2.
|
|
Пример 9. Перевести десятичную дробь А = 49,625 в двоичную систему счисления (q2=2)
Решение. Результаты перевода соответственно целой и дробной частей возьмем из примеров 5 и 7.
Ответ: А2 = 110001,1010.
Табличный метод перевода. В простейшем виде табличный метод заключается в следующем: имеется таблица всех чисел одной системы и с соответствующими эквивалентами из другой системы; задача перевода сводится к нахождению соответствующей строки таблицы и выбору из нее эквивалента. Такая таблица очень громоздка и требует большой емкости памяти для хранения.
Двоичная | Восьмеричная | Десятичная | Шестнадцатеричная |
А | |||
B | |||
C | |||
D | |||
E | |||
F | |||
Другой вид табличного метода заключается в том, что имеются таблицы эквивалентов в каждой системе только для цифр этих систем и степеней основания; задача перевода сводится к тому, что в выражение ряда (3) для исходной системы счисления надо подставить эквиваленты из новой системы для всех цифр и степеней основания и произвести соответствующие действия (умножения и сложения) по правилам q2 – арифметики. Полученный результат этих действий будет изображать число в новой системе счисления.
|
|
Пример 10. Перевести десятичное число А = 113 в двоичную систему счисления, используя следующее соотношение эквивалентов и степени основания:
Десятичное число ……………. 100 101 102
Двоичный эквивалент ……….. 0001 1010 1100110
Решение. Подставив значения двоичных эквивалентов десятичных цифр и степеней основания в (4), получим
А=113=1*102 + 1*101 + 3*100 = 0001*1100100+0001*1010+0011*0001=11100012.
Ответ: 11100012.
Пример 11. Перевести двоичное число А2 = 11001,1 в десятичную систему счисления:
Двоичное число ……………. 0,1 00001 00010
Десятичный эквивалент …... 2-1 =0,5 20 =1 21 = 2
Двоичное число ……………. 00100 01000 10000
Десятичный эквивалент …... 22 =4 23 =8 24 = 16
Решение. А= 1*16+1*8+0*4+0*2+1*1+1*0,5=25,5 Ответ: 25,5.
Использование промежуточной системы счисления. Этот метод применяют при переводе из десятичной системы в двоичную и наоборот. В качестве промежуточной системы счисления можно использовать, например, восьмеричную систему.
Рассмотрим примеры, в которых перевод одного и того же числа в разные системы счисления осуществляется методом деления на основание новой системы. Запись будем вести в столбик, где справа от вертикальной черты записываются остатки деления на каждом шаге, в слева – целая часть частного.
Пример 12. Перевести десятичное число А = 121 в двоичную систему счисления, используя в качестве промежуточной восьмеричную систему счисления.
Решение. q2 = 8 q2 = 2
121 ост=1 121 ост=1
15 ост=7 60 0
1 1 30 0
15 1
7 1
3 1
1 1 Ответ:А=121= 1718=11110012.
Сравнивая эти примеры, видим, что при переводе числа из десятичной системы в восьмеричную требуются в два с лишним раза меньше шагов, чем при переводе в двоичную систему. Если при этом учесть, что восьмеричная система связана с двоичной соотношением 8 k = (23)k, то перевод из восьмеричной системы в двоичную можно осуществить простой заменой восьмеричных цифр их двоичными эквивалентами. Триада – двоичный эквивалент восьмеричных цифр.
Пример 13. Перевести двоичное число А2 = 1011,0111 в восьмеричную систему счисления.
Решение. Исходное число условно разбиваем на тирады справа налево для целых чисел и слева направо для правильной дроби. Затем заменяем каждую триаду в соответствии с нижеприведенным соответствием.
Восьмеричная цифра … 0 1 2 3 4 5 6 7
Двоичный эквивалент …000 001 010 011 100 101 110 111
А2 = 001 011, 011 100
А8 = 1 3 3 4 Ответ: 13,34.