Алгебра форм

Опр.:

Если: - линейное пространство

То:

1. называется формой размерности (формой, тензором), если она является полилинейной формой, т.е. формой, линейной относительно каждого аргумента:

2. при называется линейной формой.

при - билинейной

Пример:

Опр.1:

- конечномерное

- базис в

Опр.2:

Утв.:

Если: -форма

- базис

То: (т.е. форма однозначно определяется набором чисел ).

Док-во:

Замечание:

- линейное пространство

1)

2)

- -форма

Опр.:

- формы

операция называется тензорным произведением.

Свойства:

1.

2.

3.

Замечание

Множество всех -форм на линейном пространстве является градуированной алгеброй.

Опр.:

Если: -формы

- линейное пространство

- множество линейных функций , определённых на

То: называется пространством, сопряжённым пространству .

Опр.:

- базис

Базис пространства называется взаимным (сопряженным) базису , если:

Утв.:

Если: - базис

- сопряженный ему базис

То:

Док-во:

Опр.:

оператор называется оператором проектирования