Норма матрицы. Некоторые свойства матричных норм

1 2 3 4 5 6

Определение матричной нормы эквивалентно определению векторной нормы.

Пусть – произвольная вещественная матрица размером .

Функция

называется нормой вещественной матрицы, если она обладает следующими свойствами:

1) , причем ;

2) , где – произвольное вещественное число;

3) , где – произвольная вещественная матрица размером .

Чаще всего в вычислительной линейной алгебре используются норма Фробениуса и p-нормы равные соответственно

; (2.1.48)

. (2.1.49)

Заметим, что все матричные p -нормы определяются через векторные p -нормы, рассмотренные в предыдущем пункте. Вводимая так норма называется индуцированной, поскольку ее конкретный вид зависит от используемой нормы вектора. В частности, можно записать следующие нормы матрицы:

(2.1.50)

– максимальная сумма модулей элементов по столбцам;

(2.1.51)

– максимальная сумма модулей элементов по строкам;

, (2.1.52)

где – максимальное собственное число матрицы .

Для симметричной матрицы порядка имеем:

, (2.1.53)

где – собственные значения матрицы .

p -Нормы обладают тем важным свойством, что для каждой вещественной матрицы размером и произвольного вещественного вектора n -го порядка выполняется неравенство