Важнейшим примером линейного пространства является так называемое арифметическое (покомпонентное) пространство. Векторами этого пространства называются упорядоченные совокупности из вещественных (комплексных) чисел, которые называются компонентами вектора. Основным представителем здесь являются вектор-столбец (основной случай; далее вместо термина «вектор-столбец» используется термин «вектор»). Векторы обозначаются одним символом , т.е. имеет место запись:
– вектор-столбец. (2.1.1)
Число называется -ой компонентой вектора, – номер компоненты.
Само арифметическое пространство в вещественном случае далее будем обозначать , а в комплексном – .
Два вектора арифметического пространства считаются равными в том и только в том случае, если равны их соответствующие компоненты. Действия сложения и умножения на число определяются покомпонентно:
– сложение по правилу
; (2.1.2)
– умножение вектора на число по правилу
. (2.1.3)
Противоположным вектором для вектора является вектор . Роль нулевого вектора играет вектор, все компоненты которого равны нулю, т.е.
– нулевой вектор. (2.1.4)
Арифметическое пространство может быть построено также и на основе вектор-строки:
– вектор-строка, (2.1.5)
где «T» – знак матричного транспонирования.
Для вектор-строки соответствующие операции определяются аналогично.
Линейной комбинацией векторов , , …, будем называть сумму произведений этих элементов на произвольные вещественные числа, т.е. выражение вида
(2.1.6)
где – произвольные числа.
В частности, на основании (2.1.6) для пары векторов ,(при и ) можем определить операцию вычитания векторов:
. (2.1.7)
Линейно зависимыми векторами , , …, называются векторы, для которых найдутся такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, при этом линейная комбинация векторов , , …, с указанными числами является нулевым вектором, т.е.:
. (2.1.8)
Линейно независимыми векторами , , …, называются векторы, если их линейная комбинация (2.1.6) является нулевым вектором лишь при условии .
Сформулируем без доказательства ряд утверждений.
1. Для того, чтобы векторы , , …, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов.
2. Если среди векторов , , …, имеется нулевой вектор, то эти элементы линейно зависимы.
Единичным вектором в называется вектор , i -ая компонента которого равна единице, остальные нули, т.е.
, ; . (2.1.9)
Базисом пространства () называется совокупность линейно независимых векторов , , …, пространства (), если для каждого вектора пространства найдутся вещественные (комплексные) числа такие, что справедливо равенство
. (2.1.10)
Например, единичных векторов , , …, образуют базис в .
Равенство (2.1.10) называется разложением вектора по базису , , …, , а числа называются коэффициентами этого разложения. Каждый вектор пространства () может быть разложен по базису , , …, единственным способом, т.е. коэффициенты разложения каждого вектора по базису , , …, определяется однозначно.