Обобщенная проблема собственных значений

Собственные значения обратной матрицы.

Пусть

,

т.е. и – собственное значение и собственный вектор матрицы .

Умножая обе части данного равенства на , получим

.

Следовательно, – собственный вектор матрицы , а – собственное значение матрицы .

Пусть даны матрицы и , при этом – невырожденная. Требуется найти ненулевой вектор и число , удовлетворяющие равенству

. (2.4.16)

В этом случае и , соответственно, называются обобщенными собственным числом и собственным вектором.

Умножая на обе части (2.4.16), получим

. (2.4.17)

Таким образом, задачу можно свести к определению собственных чисел и векторов матрицы .