2014-02-09
440
Составление уравнений для переходного режима
При расчетах и проектировании САУ широко используется преобразование Лапласа, которое позволяет заменить дифференциальные уравнения алгебраическими. Преобразование Лапласа определяется соотношением
,
где 
− комплексная величина, а 
и 
- вещественные числа.
Преобразование кратко записывают в виде 
. Здесь 
называется оригиналом, а 
– изображением функции . Рассмотрим некоторые свойства и правила преобразования Лапласа:
1. 
– свойство линейности.
2. 
3. 
– правило дифференцирования.
4. 
– правило интегрирования.
5. 
– теорема запаздывания.
Обычно САУ рассчитываются при нулевых начальных условиях, т.е. входной сигнал прикладывается к системе после установившего режима. Поэтому все члены, зависящие от начальных условий, будут равны нулю.
Рассмотрим нахождение преобразования Лапласа линейного дифференциального уравнения второго порядка.
. (1.1)
Умножим левую и правую части уравнения (1.1) на 
и проинтегрируем от 
до 
.
.
Используя сокращенную форму записи, получим:
.
Используя свойство линейности и правило дифференцирования при нулевых начальных условиях, получим:
. (1.2)
Сравнивая уравнения (1.1) и (1.2), можно заметить, что формально уравнение (1.2) можно получить из уравнения (1.1), если в нем заменить 
, где 
− оператор дифференцирования.
Так как уравнение (1.2) является алгебраическим, то из него найдем отношение:
где 
− передаточная функция.
Итак, передаточной функцией называется отношение преобразования по Лапласу выходного сигнала к преобразованию по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях.
Для линейной системы 
-ого порядка передаточная функция будет равна:
.
