Эквивалентность и порядок

Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример 4 .

Отношение «жить в одном городе» на множестве людей.

Пусть на множестве задано отношение эквивалентности . Осуществим следующее построение. Выберем элемент и образуем класс (подмножество ), состоящий из элемента и всех элементов, эквивалентных ему в рамках данного отношения. Затем выберем элемент и образуем класс , состоящий из и эквивалентных ему элементов. Продолжая эти действия, получим систему классов (возможно, бесконечную) такую, что любой элемент из множества входит хотя бы в один класс, то есть .

Эта система обладает следующими свойствами:

1) она образует разбиение множества , то есть классы попарно не пересекаются;

2) любые два элемента из одного класса эквивалентны;

3) любые два элемента из разных классов не эквивалентны.

Все эти свойства прямо следуют из определения отношения эквивалентности. Действительно, если бы, например, классы и пресекались, то они имели бы хотя бы один общий элемент. Этот элемент был бы, очевидно, эквивалентен и . Тогда, в силу транзитивности отношения выполнялось бы . Однако, по способу построения классов, это не возможно.

Построенное разбиение, то есть система классов – подмножеств множества , называется системой классов эквивалентности по отношению . Мощность этой системы называется индексом разбиения. С другой стороны, любое разбиение множества на классы само определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно отношение «входить в один класс данного разбиения».

Пример 5 .

Формулы, описывающие одну и ту же элементарную функцию, находятся в одном классе эквивалентности по отношению равносильности. В данном случае счётными являются само множество формул, множество классов эквивалентности (то есть индекс разбиения) и каждый класс эквивалентности.

Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Отношение называется отношением строгого порядка, если оно является антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Оба типа отношений вместе называются отношениями порядка. Элементы сравнимы по отношению порядка , если выполняется одно из двух отношений или . Множество , на котором задано отношение порядка, называется полностью упорядоченным, если любые два его элемента сравнимы. В противном случае, множество называется частично упорядоченным.