Операция - это функция, все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому же множеству. В общем случае n- местная функция типа φ:M×M×…×M→M (иное обозначение φ: Mn →M) называется п-арной операцией на множестве M. В таких случаях говорят, что множество M замкнуто относительно операции φ (результат выполнения операции φ на M принадлежит M).
Унарная операция – это функция одного аргумента φ(х) = у, имеющая тип φ: М → M.
Пример 3.
Унарные операции:
• элементные функции еx, logx, sinx;
• операция над множествами дополнение Ā.
Бинарная операция – это функция двух аргументов φ(х,у)=z, имеющая тип φ: М × М → M.
Пример 4.
Бинарные операции:
• арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление;
• операции нал множествами: пересечение, объединение, разность;
• операция композиции функций, отображений, отношений.
Если над элементами a,b М выполняется операция φ, дающая результат z М, то это записывается как а φ b = z.
Свойства бинарных операций
|
|
1) φ - ассоциативна, если для любых а, b, с из М выполняется
(а φ b) φ с = а φ (b φ с)
Арифметические операции сложения и умножения, операции пересечения и объединения множеств, композиция отображений - ассоциативные операции. Свойства ассоциативности означает, что скобки в выражении аφbφс можно не расставлять;
2) φ- коммутативна, если для любых a, b выполняется
a φ b = b φ a
Арифметические операции сложения и умножения, операции пересечения и объединения множеств - коммутативные операции. Арифметические операции вычитания и деления, операция разности множеств, композиция перестановок и преобразований типа А →А конечного множества – некоммутативны;
3) φ - дистрибутивна слева относительно операции ψ, если для любых a, b, с выполняется
а φ (b ψ с) = (а φ b) ψ (а φ с)
и φ дистрибутивна cправa относительно операции ψ. если для любых a, b, с выполняется
(а ψ b) φ c = (а φ с) ψ (b φ с)
Арифметические операции умножения и деления дистрибутивны относительно операций сложения и вычитания слева и справа, но не наоборот: операции сложения и вычитания недистрибутивны относительно операции умножения и деления: операции объединения и пересечения множеств дистрибутивны относительно друг друга слева и справа.
Способы задания операций.
Так как операция является функцией, то для ее задания применимы любые способы задания функций.
1. Способы задания унарных операций φ: М →М на конечном множестве М= {а1,а2,..., а n}:
• Перечнем всех аргументов а из M (для частично определенной операции - из ее области определения пр1 φ М) и соответствующих им значений b, a, b M, представленных строкой
|
|
φ = (а1 → b1, а2 →b2,..., аn →bn).
В случае, если предварительно зафиксирован список элементов (а1,а2,..., а n ) множества M, то для задания операции φ достаточно указать вектор значений (b1,b2,..., b n ), φ(аi) = bi.
• Списком всех пар «аргумент-значение »(а, b) φ, a,b M, для всех возможных значений аргументов:
φ= {(a1, b1),(a2, b2),…,(an, bn)}
• Формулой φ(а) = b.
2. Способы задания бинарных операций φ: М × М → М на конечном множестве М= { а1,а2,..., а n}:
• Таблицей, где слева и сверху таблицы выписываются все значения аргументов а и b из множества M соответственно, а на пересечении строки, соответствующей аргументу а, и столбца, соответствующего аргументу b, записывается результат с операции φ над а и b (табл. 1.2).
Таблица 1.2. Операция умножения на множестве М ={0. 1, 2,3}
* | ||||
• Списком всех троек (a, b, с), где а, b соответственно первый и второй аргументы из M, с результат выполнения операции φ над а и b, a, b,с M.
• Формулой φ(а, b) = с - - так называемое префиксное представление операции; иное инфиксное - представление бинарной операции формулой а φ b =с.