2014-02-09
714
Найдем циркуляцию вектора 
по бесконечно малому плоскому прямоугольному контуру 
, расположенному в районе некоторой точки, в декартовой системе координат. Нас будет интересовать конфигурация (линейные размеры) этого контура, поэтому изобразим его достаточно большим. Выберем направление обхода по контуру – против часовой стрелки.
Т.к. величины dx и dy являются очень маленькими, можно считать, что и поле на протяжении этих отрезков также одинаково; будем обозначать поле в каждой точке стороны 1 как 
, поле в каждой точке стороны 2 как
, и так далее. Интеграл по замкнутому контуру в данном случае мы можем заменить на сумму четырех слагаемых:
Теперь заметим, что выражение 
по сути является приращением y -ковой составляющей поля при переходе из 1 в 3 вдоль оси x. Тогда наше выражение приблизительно равно:
Мы нашли циркуляцию вектора по элементарному контуру.
Аналогично для элементарных прямоугольных контуров в плоскостях yz и zx можно получить:
А так как циркуляция вектора по любому контуру равна нулю, то можно сделать вывод, что в потенциальном поле выполняются одновременно все 3 следующих равенства:
(*)
То, что выписано – необходимый, а в электростатике – и достаточный признак потенциальности электрического поля в декартовой системе координат.
Выполнение этих равенств проверить на практике гораздо проще, чем проверять интегральный признак потенциальности электростатического поля.
Итак, поле
является потенциальным в области, если условия (*) выполняются в каждой точке этой области.
Условия (*) можно компактно записать в векторной форме, если ввести в рассмотрение вектор "ротор" напряженности электрического поля (см. Замечание).
Замечание
Ротор вектора
определим следующим образом
Векторное произведение вектора оператора градиента и вектора напряженности электрического поля, или роторможно записать через детерминант
Следовательно, для электростатического поля имеем
