2014-02-09
1168
Координатный способ задания движения
В прямолинейной системе координат Oxyz вектор 
может быть представлен в виде
,
координаты точки М, определяющие закон ее движения в зависимости от времени t;
- нормированный базис Oxyz.
1. Проекции скорости на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени:
2. Проекции ускорения на оси координат равны первым производным от проекций скоростей точки или вторым производным от соответствующих координат точки по времени:
Величины (модули) скорости и ускорения в декартовой ортогональной системе координат определяют по формулам
,
а направления 
и 
характеризуют их направляющие косинусы
.
Задание движения в естественных осях
Предельное положение прямой, проходящей через точки М и М1 траектории L точки М, когда М1 стремится к М, определяет касательную к этой кривой в точке М. Обозначим 
- единичный направляющий вектор касательной к L в точке М.
Соприкасающаяся плоскость в точке М кривой L определяется как предельное положение плоскости, содержащей в себе касательную в точке М кривой и любую точку М1 на ней, когда М1 стремится к М.
Нормаль 
к кривой в точке М, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью к кривой в т.М. Нормаль 
к кривой, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.
Прямоугольную систему взаимно ортогональных осей, направленных по 
называют естественными осями кривой L. Направление вектора скорости принимают за положительное направление касательной 
.
Положительное направление главной нормали считают в сторону вогнутости кривой, а бинормаль направляют так, чтобы получившаяся система осей 
являлась правой.
Кривизной «k» кривой L в точке М называют предел
.
Радиусом кривизны «r» кривой L в точке М называют величину обратную ее кривизне в этой точке
.
Так, например, дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол 
: 
,
где R – радиус окружности, то радиус кривизны для окружности 
Ускорение точки можно разложить на тангенциальное 
, направленное по касательной к траектории и характеризующее изменение величины скорости, и нормальное 
, направленное по главной нормали к центру кривизны траектории и определяющее изменение направления 
.
Так как в естественных осях траектории скорость может быть представлена в виде 
, то, дифференцируя это соотношение по времени, получим ускорение:
, Касательное ускорение (проекция ускорения точки на касательную) равно первой производной от величины скорости от времени:
Абсолютная величина 
может быть определена по формуле
.
Задача. По заданным уравнениям движения точки
x = 2t (см), 
(см)
определить ее траекторию, положение, скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории в заданное время t1 = 2c.
Решение.
1.Уравнение траектории получим, исключив из уравнений движения время: 
- парабола с вершиной в точке (0,-2).
Построим траекторию по точкам: 
2.Величина скорости точки 
; 
см/с; 
; при t1=2с, vx=2 см/с vy=6см/с; 
3. Величина ускорения точки 
; 
; 
; 
.
4.Касательное ускорение 
; при t1 = 2с 
.
;при t1 = 2c: 
.
6.Радиус кривизны траектории 
; при t1 = 2c
см.
Твердые тела можно рассматривать как совокупность точек, расстояния между которыми в процессе их перемещения остаются неизменными. Угол между пересекающимися прямыми, связанными с телом, сохраняется без изменения, а параллельные прямые остаются параллельными при его движении. Положение точек твердого тела полностью определено, если известно положение трех его точек, не лежащих на одной прямой.
1. Простейшие движения твердого тела
К простейшим относятся поступательное и вращательное движение тела вокруг неподвижной оси.
1.1. Поступательное движение. При поступательном движении любой отрезок прямой (например, отрезок АВ), проведенный в твердом теле, остается параллельным самому себе.
Выберем подвижную систему отсчета Axyz, оси которой связаны с данным телом и передвигаются вместе с ним.
Т. к. при поступательном движении оси координат остаются параллельными своему начальному направлению, координаты любой точки (например т. В) твердого тела в подвижной системе отсчета остаются постоянными, а ее движение тождественно движению т. А.
Следовательно, траектории движения всех точек одинаковы. Одинаковыми по модулю и направлению будут также скорости и ускорения твердого тела при его поступательном движении.
