Теорема Гаусса в интегральной форме

Рассмотрим элементарную площадку , находящуюся в поле, созданном точечным источником q, расположенным в точке наблюдения. Вектор нормали к площадке не совпадает с вектором напряженности поля в этой точке, - угол между вектором нормали к поверхности и вектором напряженности поля; r – расстояние от источника поля до площадки. Рассмотрим площадку , элементы которой перпендикулярны r. Найдем поток через площадку :

Введем понятие телесного угла:

Количественной мерой плоского угла является отношение длины дуги l к ее радиусу R. При этом центр кривизны находится в вершине угла.

Количественной мерой телесного угла является отношение площади поверхности фрагмента сферы, вырезаемой конусом с вершиной в центре сферы. К квадрату радиуса этой сферы.

Таким образом, в наших обозначениях- телесный угол.

Это пространственный угол, под которым из точки расположения точечного

заряда видна площадка (или - они видны под одним и тем же углом).

Тогда выражение для элементарного потока принимает вид:

Угол положителен, если площадка обращена к заряду внутренней стороной, и отрицателен, если внешней.

Рассмотрим 2 случая.

1) Пусть заряд q расположен внутри некоторой замкнутой поверхности (контур, изображенный на рисунке, - след от пересечения нашей поверхности с плоскостью листа). Мы будем пользоваться понятием внешней нормали , которая направлена из части пространства, охватываемой поверхностью, наружу. Мы рассматриваем как раз тот случай, когда элементарная площадка обращена к заряду внутренней стороной, т.е. угол – положительное число. Найдем поток вектора напряженности через нашу поверхность. Так как поток – величина аддитивная, полный поток равен сумме элементарных потоков:

Полный телесный угол = . Для того чтобы в этом убедиться, представим, что в точке расположения заряда находится сфера (на рисунке, на правом экране, она–розовая, радиусом)и запишем отношение полной поверхности сферы к квадрату ее радиуса . Получим как раз .

Итак, мы получили, что в случае, когда заряд находится внутри замкнутой поверхности, поток поля этого заряда через поверхность

2) Теперь рассмотрим случай, когда заряд находится вне рассматриваемой замкнутой поверхности. Из точки наблюдения, в которой расположен заряд, поверхность видна под телесным углом . На рисунке верхней части поверхности соответствует внешняя нормаль , и телесный угол, соответствующий этой части поверхности, будет иметь знак «+». Нижней же части поверхности

соответствует внешняя нормаль , телесный угол, соответствующий этой части поверхности, будет иметь знак «-». Тогда полный поток, пронизывающий нашу поверхность, может быть представлен в виде суммы двух потоков: , где - поток через верхнюю часть поверхности, - поток через нижнюю часть нашей поверхности. Распишем это выражение, учитывая, что поверхность со знаком «+» и поверхность со знаком «-» опираются на телесные углы равные по величине, но противоположные по знаку:

Т.е. получаем, что в случае, когда заряд находится вне замкнутой поверхности, поток этого заряда через поверхность = 0.

Мы рассмотрели только случай, когда поле создается единственным точечным зарядом. Если же поле создается системой точечных зарядов, то поток поля , проинтегрированный по всей замкнутой поверхности, в силу принципа суперпозиции может быть представлен в виде: