2014-02-09
1148
Теорема. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.
Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.
Базис 
пространства 
называется каноническим базисом квадратичной формы 
, если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. 
при 
.
Если – канонический базис 
, то выражение
, 
называется каноническим видом в базисе , где 
– новый набор неизвестных
Теорема. Если 
– разложение вектора 
по каноническому базису 
квадратичной формы , то значение на векторе вычисляется по формуле 
, 
.
Доказательство:
Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис квадратичной формы и ее канонический вид в этом базисе, то для вычисления значения 
квадратичной формы на векторе достаточно:
1. разложить вектор по каноническому базису :
;
2. коэффициенты разложения 
подставить вместо неизвестных в канонический вид квадратичной формы
.
Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.
Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы 
и канонический базис Якоби.
