Контрольные вопросы к теме
Лемма 2. Если – правильная рациональная дробь, а число (и – вещественные,) является корнем кратности многочлена, т.е. и, и если, то существуют вещественные числа и и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.
Лемма 1. Если – правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена, т.е. и, то существует вещественное число и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.
При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.
Рациональные дроби вида , , , , ‑ трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.
Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.
При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:
|
|
ü Для данной дроби пишется разложение, в котором коэффициенты считаются неизвестными ;
ü После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты.
При этом если степень многочлена равна , то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени , т.е. многочлен с коэффициентами.
Число неизвестных также равняется : .
Таким образом, получается система уравнений с неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.
1. Понятие многочлена.
2. Условие равенства многочленов.
3. Сложение и умножение многочленов.
4. Теорема о делении с остатком.
5. Понятие корня многочлена.
6. Понятие кратности корня многочлена
7. Теорема Безу.
8. Схема Горнера.
9. Соотношение степени многочлена и числа его корней.
10. Понятие правильной рациональной дроби.
11. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.
12. Метод неопределенных коэффициентов.
Лекция 12. *Квадратичные формы*
Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:
квадратичная форма; матрица квадратичной формы; канонический вид квадратичной формы; нормальный вид квадратичной формы; канонический базис квадратичной формы; канонический базис Якоби; угловые миноры матрицы квадратичной формы; положительно определенная квадратичная форма; отрицательно определенная квадратичная форма; критерий Сильвестра.
Понятие квадратичной формы.
Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому , а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.
|
|
Квадратичной формой от неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух разных неизвестных.
Пример. Сумма является квадратичной формой от трех неизвестных .
Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при обозначаются через , а коэффициенты при через , причем Член записывается в виде . После этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде:
Матрица
называется матрицей квадратичной формы . Так как , то – симметричная матрица.
С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.
,
где – матрица квадратичной формы,
– матрица–столбец неизвестных
Приведенные выкладки показывают, в частности, что если – симметрическая матрица, то выражение является квадратичной формой от неизвестных , т.е. квадратичная форма является результатом скалярного произведения матриц и . Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид . Если – произвольный – мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму вместо получится число , которое называется значением квадратичной формы на векторе .
Принято считать, что квадратичная форма имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. при . При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами , т.е.
.
В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:
Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.