Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Контрольные вопросы по курсу математики

Контрольные вопросы по курсу математики

первого и второго семестров (бакалавры)

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

1. Опр. высказывания, логической формулы и булевой функции. Пр.

2. Опр. обратной, противоположной теорем и метода доказательства от противного. Пр.

3. Опр. предметной переменной, предиката и области определения. Пр.

4. Опр. кванторов общности и существования. Пр.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Опр. СЛАУ, совместной и определенной СЛАУ. Пр.

2. Опр. матрицы, транспонированной матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы. Пр.

3. Опр. суммы матриц, произведения матрицы на число и произведения матриц.

4. Опр. векторного пространства (ВП).

5. Пять примеров векторных пространств.

6. Опр. декартова произведения множеств и векторных пространств. Пр.

7. Опр. линейной комбинации элементов, линейно независимых элементов и базиса в ВП.

8. Опр. скалярного произведения и нормы в векторном пространстве. Пр.

9. Опр. отображения множеств, линейного и полилинейного отображений ВП. Пр.

10. Опр. n-мерных евклидова векторного, аффинного и евклидова (точечного) пространств.

11. Опр. ДСК и полярной системы координат.

12. Опр. символа Кронекера, ортонормированного базиса и прямоугольной ДСК. 13. Опр. компонент элемента, радиуса-вектора и координат точки.

14. Опр. сферической и цилиндрической систем координат.

15. Опр. проекции вектора на ось и ее свойства.

16. Опр. правой тройки и векторного произведения.

17. Физические смыслы скалярного, векторного произведений.

18. Опр. смешанного произведения и геом. смыслы модулей векторного и смешанного произведений.

19. Опр. плоскости и три аналитических способа ее задания

20. Опр. вектора нормали к плоскости и направляющего вектора прямой.

21. Опр. прямой и три способа ее задания в пространстве.

22. Опр. кривой второго порядка и эллипса. Уравнение.

23. Опр. гиперболы и параболы. Уравнение.

24. Опр. правой, левой обр. матриц и свойства матриц.

25. Опр. характеристического многочлена, собственных чисел и собственных векторов матрицы.

26. Опр. и свойства ортогональной матрицы.

27. Опр. и свойства симметричной матрицы.

28. Опр. и рисунки эллипсоида, одно- и двуполостных гиперболоидов.

29. Опр. и рисунки эллиптического, гиперболического параболоидов и конуса.

30. Опр. движения и элементарные движения.

31. Опр. квадратичной формы, канонической и эквивалентных квадратичных форм. Пр.

32. Опр. суммы операторов, умножения оператора на число и тождествен. оператора. Пр

33. Опр. произведения операторов и матрицы оператора.

34. Опр. подпространства, образа и ядра линейного оператора.

35. Опр. ранга линейного оператора и свойства операторного уравнения.

36. Опр. однородного, неоднородного операторных уравнений и образа оператора.

37. Опр. правого, левого обратного и обратимого операторов. Пр.

38. Опр. мономорфизма, эпиморфизма и изоморфизма. Пр.

39. Опр. числовой последовательности, ограниченной сверху и монотонно убывающей числовых последовательностей. Пр.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

1. Опр. предела, фундаментальной последовательности и подпоследовательности.

2. Опр. числового ряда, частичной суммы и суммы ряда.

3. Опр. гармонического, знакочередующегося и расходящегося числовых рядов. Пр.

4. Опр. частичной суммы и суммы ряда. Найти сумму геометрической прогрессии.

5. Опр. абсолютно и условно сходящихся рядов. Пр.

6. Опр. множества, подмножества и разбиения множеств.

7. Опр. объединения, пересечения и разности множеств. Пр.

8. Связь рациональных чисел и бесконечных периодических дробей. Примеры. 9. Опр. ограниченных множеств, верхней и нижней граней множества. Пр.

10. Опр. равномощных множеств, счетного множества и множества мощности континуум. Пр.

11. Опр. инъективного, сюръективного и биективного отображений. Пр.

12. Опр. композиции отображений и сужения отображения. Пр.

13. Опр. обратных отображений и связь с биективностью. Пр.

14. Опр. основных элементарных и элементарных функций. Пр.

15. Опр. гиперболических, рациональной функций и функции Дирихле. Пр.

16. Опр. эквивалентных БМ и БМ более высокого порядка. Пр.

17. Опр. числа сочетаний, числа и натурального логарифма. Пр.

18. Опр. непрерывности в точке, на множестве и примеры.

19. Опр. устранимой точки разрыва, пределов слева и справа.

20. Опр. точек разрыва первого, второго рода и примеры.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Опр. производной и связь с непрерывностью.

2. Таблица производных.

3. Опр. секущей и касательной. Геометрический смысл производной.

4. Опр. дифференциала. Пр.

5. Физический смысл производной.

6. Опр. производной n-ого порядка и примеры.

7. Опр. кривой и параметрического задания. Пр.

8. Опр. асимптоты и формулы ее нахождения.

9. Опр. локальных экстремумов и пример.

10. Опр. выпуклых, вогнутых кривых и точки перегиба.

11. Опр. многочлена Тейлора, остаточного члена, формула Тейлора.

12. Свойства степенных рядов.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Опр. первообразной, неопределенного интеграла и замечание.

2. Таблица первообразных.

3. Опр. кратности нуля функции и теорема Гаусса. Пр.

4. Опр. простейших дробей и метод неопр. коэффициентов.

5. Опр. разбиения, диаметра разбиения.

6. Опр. интегральной суммы и определенного интеграла.

7. Опр. криволинейной трапеции, функции и гребешка Дирихле.

8. Опр. кусочно непрерывных и кусочно монотонных функций. Пр. Теорема существования.

9. Опр. несобственного интеграла на отрезке бесконечной длины. Пр.

10. Опр. несобственного интеграла от неограниченной функции. Пр.

Типы задач по курсу математики первого и второго семестров (бакалавры)

1) Перемножить матрицы. 2) Найти транспонированную. 3) Найти ранг матрицы.

4) Найти обратную матрицу. 5) Вычислить определитель. 6) Решить СЛАУ по формуле Крамера. 7) Найти общее решение СЛАУ. 8) Вычислить скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. 9) Найти уравнение проходящей через точку плоскости (прямой), илиплоскости (пря мой). 10) Найти объем тетраэдра (призмы) и площадь треугольника (параллелограмма), построенных на векторах как на сторонах. 11) Найти расстояния: а) от точки до прямой, б) от точки до плоскости, в) между двумя прямыми. 12) Определить взаиморасположение прямых (и, или) плоскостей. 13) Перейти от одной формы задания прямой (плоскости) к другой форме.