Формула Остроградского - Лиувилля

(1).

Докажем эту формулу.

Производная от определителя n-го порядка (по строкам) равна сумме n определителей, получающихся из него поочерёдной заменой элементов каждой строки их производными. Так как все эти определители, кроме последнего, содержат две одинаковые строки и равны нулю, то в итоге будем иметь

(2).

Умножая элементы первых n-1 строк определителя (2) соответственно на и прибавляя их к элементам последней строки, учитывая, что L[y_i]= =0, получим (3).

Записывая решение уравнения (3) в форме Коши, получаем (1).

Из формулы (1) видно, что если W(x₀)=0, то во всём интервале (a,b).