Построение общего решения

Знание ФСР даёт возможность построить общее решение уравнения L[y] = 0.

Основная теорема.

Если y₁,..., y_n – фундаментальная система решений, то формула (1) даёт общее решение уравнения L[y] = 0 в области , (2).

(1) является решением уравнения L[y] = 0, т.к. это линейная комбинация решений y₁,..., y_n. Покажем, что это общее решение.

Продифференцируем выражение (1) n-1 раз.

(3).

Система (3) разрешима относительно в области (2), так как W(x)≠0. Поэтому, согласно определению общего решения уравнения n-го порядка, выражение (1) является общим решением уравнения L[y] = 0 в области (2).

Формула (1) содержит все решения. Как найти частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям: (4) при х =. - любые наперёд заданные числа.

Подставим значения (4) в систему (3), получим и искомое решение имеет вид (5).

Формула (5) имеет наиболее простой вид, если ФСР нормирована в точке Х₀. Тогда и (6).

Формулу (6) можно рассматривать как общее решение уравнения L[y] = 0 в форме Коши.

Пример. (7),

- ФСР. Тогда согласно основной теореме - общее решение уравнения (7).

Система решений не нормирована в точке х=0.

- также является ФСР, но уже нормированной в точке х=0.

Тогда общее решение заданного уравнения можно записать в виде , где - произвольные начальные условия в точке х=0.