Фундаментальная система решений (ФСР)

Совокупность любых n решений уравнения L[y] = 0, определённых и линейно независимых в интервале (a,b) называется фундаментальной системой решений в этом интервале. Чтобы система n решений была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы W(x) этих решений был отличен от нуля хоть в одной точке интервала непрерывности коэффициентов уравнения L[y] = 0. Из определения ФСР следует, что фундаментальных систем может быть бесконечное множество.

Очевидно, что все решения ненулевые. Покажем, что ФСР уравнения L[y] = 0 всегда существует.

Теорема.

Если коэффициенты уравнения L[y] = 0 непрерывны в интервале (a,b), то существует ФСР, определённых в этом интервале.

Доказательство.

Возьмём и построим решение у₁ с начальными условиями при х = х₀. Такое решение всегда существует и оно единственное на основании теоремы Пикара.

Аналогично построим у₂ с начальными условиями при х=х₀.

И так далее: при х=х₀.

Вронскиан построенных решений в точке х=х₀

Следовательно, y₁,..., y_n является ФСР на интервале (a,b).

Замечание. Построенная таким образом ФСР называется нормированной в точке х=х₀.

Существует только одна ФСР, нормированная в точке х =.