Примеры абсолютно непрерывных распределений

Распределение	Плотность	Параметры
1) Равномерное на [a,b]
2) Нормальное гауссовское
3) Экспоненциальное
4) Двустороннее экспоненциальное
5) Хи-квадрат
6) Стьюдента, t
7) Коши

Обобщения для векторной случайной величины со значениями в

Определим разностный оператор при

Тогда любая функция, удовлетворяющая свойствам 1) - 4) может служить функцией распределения:

1) ,

2) если при , то при

3)

4) , если хотя бы одна из координат равна .

В частном абсолютно-непрерывном случае

где – плотность, т.е.

1) ,

2) .

Пример. Так в случае

с – нормальное (гауссовское) распределение и плотность . Если , – стандартное распределение.

При (положительно определенная матрица )

(забегая вперед заметим, что , ).

Пусть на заданы – случайные величины со значениями в , т.е. ;

Определение. Случайные величины независимы, если для любых

Предложение. независимы тогда и только тогда, когда для любого

Пример.

1) Пусть – независимые нормально распределенные случайные величины. Распределение называется - распределением с степенями свободы.

2) Пусть и независимы от , тогда

– распределение Стьюдента с степенями свободы.

Пусть задано – полное вероятностное пространство. Пусть ; , при .

Определение. Случайную величину называют дискретной.
Если число слагаемых в конечно, то – простая случайная величина.

Теорема. 1) Для любой случайной величины существует последовательность случайных величин такая, что и

2) Если , то существует последовательность простых случайных величин таких что