2014-02-12
2426
Спектральное представление амплитуды и фазы поля импульса
Временное представление амплитуды и фазы поля импульса
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УЛЬТРАКОРОТКИХ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ В ЛИНЕЙНЫХ ДИСПЕРСИОННЫХ СРЕДАХ
ЛЕКЦИЯ №11
Теория ИЗЛУЧЕНИЯ. Квантовые пЕреходы.
1.1. Фемтосекундный волновой пакет: временное и спектральное представление [1, 3]
В квазимонохроматическом приближении
Dw/w0<<1
электрическое поле произвольного сверхкороткого импульса, можно представить в виде
, (1.1)
где А(t,z) – комплексная амплитуда, w0 – несущая или центральная частота (central frequency) в спектре импульса шириной Dw.
Импульс считается сверхкоротким, если его длительность короче, чем 10-9 с, т.е. в пространстве его длина меньше 30 см.
Комплексную амплитуду импульса можно выразить через действительные параметры:
огибающую импульса r(t,z) и временную фазу j(t,z) (temporal phase).
При Z=0
(1.2)
Интенсивность импульса определяется вектором Пойнтинга:
I(t, z)=c<E2>/4π (1.3)
При этом огибающую интенсивности импульса можно представить в виде
Так как E(t) может быть представлено в виде интеграла Фурье
(1.4)
где -спектральная амплитуда импульса, связанная с полем -обратным преобразованием Фурье
(1.5)
Спектральную амплитуду импульса по аналогии так же можно выразить через действительные параметры - модуль огибающей спектральной амплитуды импульса A(w, z) и спектральную фазу j(w, z) (spectral phase).
При z=0 (1.6)
Временное и спектральное описания светового импульса эквивалентны. Эквивалентность описаний подтверждается теоремой Винера-Хинчина, связывающей огибающую спектральной интенсивности с корреляционной функцией поля (корреляционной функцией первого порядка). Аналогичное соотношение справедливо для временной огибающей интенсивности.
При фемтосекундной длительности импульсов временные параметры не доступны для прямых измерений, в то же время огибающая спектральной интенсивности может быть измерена спектральными приборами:
Спектрально ограниченный импульс
Transform-limited pulse orBandwidth-limited pulse
Наиболее распространенный тип импульсов в фемтосекундной оптике – импульсы с гауссовой и гиперболической (секанс-квадрат) огибающими.
У гауссова импульса более резко спадает интенсивность крыльев по сравнению с крыльями импульсов гиперболической формы: как exp(-at2) к exp(-at).
Импульсы, генерируемые современными фемтосекундными лазерами, по форме огибающей ближе к импульсам гиперболической формы.
У спектрально ограниченного импульса произвольной формы длительность импульса t0 определяется обратным значением ширины его спектра Dw в соответствиисФурье преобразованием.
Временные огибающая поля и фаза импульса гауссовойформы могут быть представлены в виде
(1.6)
j(t)= 0.
Тогда огибающая интенсивности примет вид
(1.7)
где t 1/2 - длительность импульса на полувысоте (1/2)I0 (FWHM),
t0 - длительность импульса огибающей интенсивности по уровню e-1I0.
Энергия в импульсе гауссовой формы может быть определена как
(1.8)
Для поля в спектральном представлении при нулевой временной фазе по Фурье имеем
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Из (1.10-1.11) для произведения длительности импульса на ширину спектра, определяющего степень синхронизации компонент спектра импульса, имеем соотношение для определения спектрально ограниченного импульса гауссовой формы с полностью синхронизованными спектральными компонентами
(1.12)
При определении длительности импульса по уровню e-1:
или (1.13)
(1.14)
соответствующие ширины спектра огибающей интенсивности по уровню ½ и e-1.
(1.15)
Для гиперболического импульса аналогичные формулы будут иметь вид:
временная огибающая импульса «секанс-квадрат»
при длительности импульса по уровню FWHM
(1.16)
при длительности по уровню e-1
(1.17)
Спектральная огибающая импульса тоже будет гиперболической и с нулевой фазой, если временная фаза равна нулю:
при длительности импульса по уровню FWHM она имеет вид
(1.18)
При этом длительности импульсов связаны соотношением
(1.19)
и произведение ширины спектра на длительность определяется величиной
(1.20)
Длительность импульса: определения
Понятие длительности является условным и зависит от правил ее определения.
Выше были использованы два определения длительности импульса: по уровню ½ (FWHM) и e-1 от максимальной интенсивности. Это наиболее часто используемые определения.
Рис.1.1. Определение длительности по уровню FWHM и его недостаток.
Наряду с этим иногда используются следующие определения:
3. Эффективная длительность или энергетическая длительность, равная отношению энергии импульса к максимальной его интенсивности
(1.21)
Эффективная длительность равна длительности прямоугольного импульса той же энергии и той же максимальной интенсивности.
Рис.1.2. Определение эффективной длительности импульса.
4. Среднеквадратичная длительность импульса, определяемая как момент второго порядка от огибающей интенсивности:
(1.22)
Рис. 1.3. Определение среднеквадратичной длительности импульса.
Соотношения между длительностями, определенными различными способами:
прямоугольный импульс: , (1.23)
гиперболический импульс:
, (1.24)
Энергия в импульсах гауссовой и гиперболической форм может быть определена выражениями:
(1.25)
(1.26)
