2014-02-12
697
Третье приближение теории дисперсии
Уравнение для амплитуды поля А(t,z) в третьем приближении теории дисперсии имеет вид:
(1.79)
В бегущей системе координат
,
,,
,
Получаем следующие уравнение:
, (1.80)
решение выражается через интеграл
, (1.81)
где G- функция Грина,
. (1.87)
Амплитуда A(t,z) для гауссова импульса может быть найдена только в пределе t®µ, вид огибающей r(t,z) определяется обычно численным методом.
k2=0 и k3=0 k2¹0 и k3=0 k2=0 и k3¹0
Рис. 1.13. Огибающая спектрально ограниченного импульса в средах с k2¹0 и k3¹0.
Кубическая дисперсия при k3>0 приводит к модуляции хвоста импульса, передний фронт остается гладким. Импульс становится асимметричным, его максимум смещается. С уменьшением t0 роль k3 возрастает. Условием малости квадратичной дисперсии в сравнении с кубической есть
. (1.88)
Характерная длина дисперсионного расплывания при этом определяется соотношением
. (1.89)
При z>>L(3)d длительность импульса в среде при k2=0 определяется выражением
. (1.90)
Среда с кубической дисперсией:
|
|
|
1) положительная кубическая спектральная фаза
Рис. 1.14. Гауссов импульс в среде с k2=0, k3>0:.
2) отрицательная кубическая спектральная фаза:
Рис. 1.14. Гауссов импульс в среде с k2=0, k3<0:.
Среда с дисперсией четвертого порядка:
1) положительная спектральная фаза четвертого порядка
Рис. 1.15. Гауссов импульс в среде с k2=0, k3=0, k4>0:
2) отрицательная спектральная фаза четвертого порядка:
Рис. 1.16. Гауссов импульс в среде с k2=0, k3=0, k4<0:
1.4. Фазово-модулированный (чирпованный) импульс в дисперсионной среде [1-3]
Частотная модуляция несущей.
Рис. 1.19. Положительно чирпованный импульс.
Частота поля на переднем и заднем фронте импульса различны.
Второе приближение теории дисперсии
Комплексная амплитуда поля чирпованного импульса при z=0 имеет вид:
(1.109)
Подставляя значение поля на границе в общее решение волнового уравнения, в котором учтена дисперсия второго порядка, полученное через функцию Грина, имеем:
(1.110)
где
(1.111)
Огибающая и фаза импульса будут иметь вид:
(1.112)
(1.113)
где
(1.114)
Тогда для длительности импульса в среде можно записать:
(1.115)
t/t0, относительная длительность импульса
Lk 1 2 3 z/Ld
Рис.1.20. Зависимость длительности импульса в среде c квадратичной дисперсиейот расстояния, пройденного в среде: 1 - спектрально ограниченный импульс, 2 - чирпованный импульс при a0k2<0, 3 - чирпованный импульс при a0k2>0.
При a0k2>0 импульс достигает минимальной длительности при z=Lk
, (1.116)
(1.117)
Скорость изменения частоты в чирпованном импульсе равна нулю при z=Lk
. (1.118)
Среднеквадратичная длительность импульса в этом приближении дисперсии определяется выражением
|
|
|
(1.119)
где
tск (z) - длительность импульса в среде с квадратичной и кубической дисперсией,
- длина дисперсионного расплывания спектрально ограниченного импульса при k2=0.
В средах только с кубической дисперсией импульс всегда расплывается независимо от знака k3.
В среде с квадратичной и кубичной дисперсией при a0k2>0 на первом этапе происходит уменьшение длительности импульса, величина которого падает с ростом k3, на втором этапе импульс расплывается.
Если k3¹0, то коэффициент сжатия импульса по длительности уменьшается. В точке максимального сжатия импульс не превращается с спектрально ограниченный, у него остается фазовая модуляция.
1.5. Компрессия фазово-модулированных импульсов [1-4]
Чирпованный импульс с длительностью и шириной спектра, произведение которых определяется соотношением
, (1.120)
преобразуется в спектрально ограниченный импульс, если он пройдет в среде с a0k2>0 расстояние Lк , на котором время группового запаздывания крайних компонент в его спектре будет равно 2t0
. (1.121)
При >> 1
, (1.122)
тогда
. (1.123)
Длительность импульса после компрессии
, (1.124)
коэффициент компрессии чирпованного импульса - S
. (1.125)
Рис. 1.21. Компрессия импульсов с отрицательным (а) и положительным (б) чирпом в средах с нормальной и аномальной дисперсией.
Рис.1.22. Компрессия чирпованных импульсов в средах и устройствах с нормальной и аномальной дисперсией.
