Решение волнового уравнения для спектрально ограниченного импульса с огибающей гауссова вида

Приближения теории дисперсии

Метод медленно меняющихся амплитуд

Пусть w₀ - средняя частота спектрального пакета. Если амплитуда поля импульса медленно меняется на периоде колебания T₀=2p/w₀, то есть выполняется условие, что длительность импульса t₀>> T₀, то решение (1.40-41) можно искать в виде

(1.45)

где, а - фазовая скорость.

Учитывая, что изменения комплексной амплитуды на периоде поля малы, разложим ее в ряд Тейлора по t'

, (1.46)

учитывая, что

(1.47)

получим

(1.48)

Тогда волновое уравнение для амплитуды поля A(t,z) можно представить в виде:

, (1.49)

где введено понятие групповой скорости u

(1.50)

так как и.

Дисперсия групповой скорости k₂

(1.51)

Дисперсия групповой скорости k₃ во втором приближении

(1.52)

-- нормальная дисперсия,, (1.53)

-- аномальная дисперсия,. (1.54)

Рис.1.7. Частотная зависимость групповой и фазовой скорости вблизи резонанса W_е.

Пример: плазма -,

групповая скорость -,

фазовая скорость -,

соотношение между групповой и фазовой скоростями:

u·v_ф=с².

Аппроксимация дисперсионных свойств среды представлением k(w) в виде разложения:

(1.55)

Нулевое приближение

Решение волнового уравнения (1.49) дает

(1.56)

Первое приближение

(1.57)

Волновое уравнение (1.49) в первом приближении теории дисперсии имеет вид

(1.58)

С учетом решения уравнения (1.58) для напряженности поля будем иметь

(1.59)

Второе приближение

Волновое уравнение (1.49) для амплитуды поля А(t,z) во втором приближении теории дисперсии имеет вид:

(1.60)

(эллиптическое уравнение).

Перейдем к бегущей системе координат

,

,,

Получим уравнение:

, (1.61)

решение которого выражается через функцию Грина (интеграл Дюамеля)

, (1.62)

где G-функция Грина.

Функция Грина должна удовлетворять уравнению:

, (1.63)

где - дифференциальный оператор.

Введем новую функцию

. (1.64)

Применим Фурье преобразование к (1.63) с учетом (1.64) имеем

, (1.65)

, (1.66)

где.

Применяя обратное преобразование Фурье к (1.66), которое сводится к взятию интеграла пуассоновского вида:

, (1.67)

получим

. (1.68)

Откуда

(1.69)

Решение уравнения (1.61) в виде (1.62-69) удовлетворяет граничной задаче

при z=0.

При этом амплитуда поля в общем случае комплексна

,

где действительная огибающая.

. (1.70)

Согласно (1.62) {,}

,

, (1.71)

Решение будет иметь вид

(1.72)

после преобразования

имеем

. (1.73)

Введем

, (1.74)

где - дисперсионная длина или длина дисперсионного расплывания,

- (1.75)

Тогда комплексную амплитуду можно представить в виде:

. (1.76)

В соответствии с (1.76) гауссов импульс сохраняет вид огибающей, но приобретает линейную частотную модуляцию, знак которой определяется знаком k_2.

Из (1.76) следует, что длительность гауссова импульса растет с расстоянием по закону

(по уровню e^-1). (1.77)

Согласно (1.77)

при z< длительность импульса практически не меняется,,

при z> длительность растет линейно по z,

. (1.78)

Рис.1.8. Дисперсия показателя преломления и длины расплывания гауссова импульса в воде.

Дисперсионное расплывание импульса увеличивается с приближением его формы к прямоугольной.

Для более коротких импульсов дисперсионное расплывание более сильное.

t/t₀

(a) (b)

Рис. 1.9. Огибающая спектрально ограниченного импульса в среде с квадратичной дисперсией при z/L_d<1 (a) и z/L_d>1 (b).

t/t₀ - относительная длительность импульса

1 2 3 4 z/L_d

Рис. 1.10. Зависимость длительности импульса в среде c квадратичной дисперсией от расстояния.

Среда с квадратичной дисперсией:

Рис. 1.11. Гауссов импульс в среде с нормальной дисперсией: k₂>0,..

Рис. 1.12. Гауссов импульс в среде с аномальной дисперсией: k₂<0,.

РЕЗЮМЕ:

Спектрально ограниченный гауссов импульс в среде с квадратичной дисперсией:

Ø сохраняет свою форму,

Ø расплывается,

Ø приобретает линейную частотную модуляцию,

Ø т.е. перестает быть спектрально ограниченным.