Пусть дана система векторов (1) , , …, из векторного пространства V над полем Р.
Определение 1. Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов (1) называется базисом этой системы.
Теорема. Если система (2) , , …, — базис системы векторов (1), то любой вектор системы векторов (1) является линейной комбинацией системы векторов (2), причем такое представление (разложение по базису) единственно.
Доказательство. Пусть — некоторый вектор из системы векторов (1). Если принадлежит базису (2), то =для некоторого iÎ{}. Тогда = 0+ … + 1+ … + 0— разложение вектора по базису (2). Если не принадлежит базису (2), то рассмотрим систему векторов
(3) , , …, , .
По определению базиса, система векторов (3) является линейно зависимой. Это означает, что существуют скаляры a1, a2,..., a r, a r +1 принадлежащие полю Р и не равные нулю одновременно такие, что выполняется равенство (4) a1+ a2+ … + a r + a r +1= . Допустим, что a r +1=0. Тогда a r +1=и a1+ a2+ … + a r + a r +1= , причём скаляры a1, a2,..., a r не равны нулю одновременно. Это означает, что система векторов (2) линейно зависима. Получили противоречие с определением базиса. Поэтому a r +1¹0. Выразим вектор из равенства (4). Получим
|
|
= - - - … - ,
то есть вектор является линейной комбинацией базисных векторов (2).
Покажем, что такое представление единственно. Допустим, что существуют два представления вектора в виде линейной комбинации базисных векторов (2):
(5) = a1+ a2+ … + a r и (6) = b1+ b2+ … + b r .
Вычтем из равенства (5) равенство (6). Получим (7) = (a1 - b1)+ (a2 - b2)+ … + (a r - br). Поскольку система векторов (2) линейно независима, то из равенства (7) следует, что все скаляры ai-bi равны нулю, i=. Это означает, что ai=bi для всех i=и представления (5) и (6) совпадают. Таким образом, существует единственное представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов. Теорема доказана.
Определение 2. Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов , , …, называется разложением вектора по базису , , …, := a1+ a2+ … + a r .
Кортеж (a1, a2, …, ar) называется координатной вектор-строкой вектора в базисе (2). Коэффициенты a1, a2, …, a r разложения вектора по базису (2) называются координатами вектора в базисе (2).
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что координаты единственным образом определяют вектор.