Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности

Дополнение линейно независимой системы векторов векторного пространства V до базиса. Подпространство векторного пространства. Критерий подпространства. Пересечение и сумма подпространств.

Лемма 1. Любая линейно независимая система векторов векторного пространства V_n может быть дополнена до базиса пространства V_n.

Доказательство. Пусть , , …, (1) — линейно независимая система векторов n-мерного векторного пространства V_n. Пусть (2) , ,…, — базис пространства V_n. Рассмотрим систему векторов , , …, , , ,…, (3). Система векторов (3) конечная и она содержит максимальную линейно независимую подсистему (2). Следовательно, система векторов (2) является базисом системы векторов (3). Так как любые два базиса системы векторов (3) состоят из одного и того же числа векторов n, то в конечной системе векторов (3) можно построить максимальную линейно независимую подсистему, содержащую систему векторов (1). Тогда она будет состоять из n векторов и, значит, будет являться базисом пространства V.

Определение 4. Пусть Н – непустое подмножество векторного пространства V над полем Р. Н называется подпространством пространства V, если Н само является векторным пространством над полем Р.

Теорема (критерий подпространства). Пусть Н – непустое подмножество пространства V над полем Р. Н является подпространством V тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) Для любых , из Н + Î Н;

2) для любого a из Р и любого из Н выполняется aÎ Н.

Доказательство. Необходимость. Пусть Н – подпространство пространства V. Тогда по определению Н является векторным пространством над полем Р и H замкнуто относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр из поля Р. Следовательно, условия 1) и 2) выполняются.

Достаточность. Пусть выполняются условия 1) и 2) теоремы. Т.к. (-1)ÎР, то по условию 2) для любого из Н (-1)= - Î Н. Тогда, по критерию подгруппы, Н является подгруппой аддитивной абелевой группы V, и, следовательно, Н само является аддитивной абелевой группой. Т.к. обобщенные дистрибутивные и ассоциативные законы выполняются в V, то они выполняются и в Н. Кроме того, 1=для любого из Н. Следовательно, Н удовлетворяет определению векторного пространства над полем Р и, значит, по определению Н является подпространством пространства V.

Определение 2. Пусть V₁, V₂,…, V_s — подпространства векторного пространства V над полем Р. Множество М={+ + …+ ½ Î V_i, i=} называется суммой подпространств V₁, V₂,…, V_s и обозначается М = V₁ + V₂ +…+ V_s.

Лемма 2. Пусть V₁, V₂,…, V_s — подпространства векторного пространства V над полем Р. Тогда

1) Н = V₁ + V₂ +…+ V_s является подпространством пространства V;

2) D = V₁ Ç V₂ Ç…Ç V_s является подпространством пространства V.

Доказательство. 1) Пусть , Î Н. Тогда по определению суммы подпространств

=+ + …+ , =+ + …+ , где , Î V_i, i=. Найдём сумму

+= (+ ) + (+ ) +…+ (+ ). Так как + Î V₁, + ÎV₂, …, + ÎV_s, то по определению +Î Н. Значит, Н замкнуто относительно сложения векторов. Далее, для любого a из Р и любого из Н выполняется:

a = a(+ + …+ )= a+ a+ …+ a.

Поскольку aÎ V₁, aÎ V₂, …, a Î V_s, то по определению aÎ Н и Н замкнуто относительно умножения на скаляры из поля Р. По критерию подпространства, Н является подпространством пространства V.

2) Доказательство проводится аналогично.

Определение. Пусть V₁ и V₂ — векторные пространства над одним и тем же полем P. Говорят, что V₁ изоморфно V₂ (обозначается V₁ @ V₂), если существует взаимно-однозначное отображение j пространства V₁ на V₂ такое, что выполняются следующие условия:

1) j(+) = j() + j() для любых и из V₁;

2) j(a ) = aj() и для любых Î V₁ и aÎР.

Теорема. Пусть V — векторное пространство над полем P и dim_PV=n. Тогда V@Pⁿ, гдеPⁿ — арифметическое n-мерное векторное пространство.

Доказательство. Пусть , , …, — базис векторного пространства V над полем P. Тогда для любых и из V существует единственное разложение по базису:

=a₁+ a₂+ … + a _n = и = b₁+ b₂+ … + b _n = .

Зададим соответствие j по правилу j() = (a₁, a₂, …, a_n)для любого =Î V, т.е. каждому вектору из V поставим в соответствие кортеж его координат. В силу единственности разложения вектора по базису, j является отображением V в Pⁿ. Покажем, что j — биекция. Действительно, для любого (g₁, g₂, …, g_n) Î Pⁿ, существует =g₁+ g₂+ … + g _n Î V, такой что j()= (g₁, g₂, …, g_n). Следовательно, j — сюръекция.

Проверим инъективность j. Пусть j()=j(). Тогда по определению j, имеем

(a₁, a₂, …, a_n) = (b₁, b₂, …, b_n). Это равенство возможно только в случае a_i=b_i, для всех i=. Но тогда =, что означает =. Следовательно, j — инъективно. Таким образом, отображение j биективно.

Проверим выполнимость условий 1) и 2) определения изоморфизма векторных пространств.

j(+) = j(+ ) = (коммутативность «+» на V, обобщенный дистрибутивный закон)= j() = (a₁+b₁, a₂+b₂, …, a_n+b_n) = (a₁, a₂, …, a_r) + (b₁, b₂, …, b_n) =j(+) для любых и из V, т.е. условие 1) выполняется.

Для любого aиз Р и любого Î Vj(a) = j(a) = (обобщенный дистрибутивный закон, обобщенная ассоциативность) = j() =(aa₁, aa₂, …, aa_n)= a(a₁, a₂, …, a_n) = aj(), т.е. выполняется условие 2) определения. Значит, j является изоморфизмом векторного пространства V на арифметическое n-мерное векторное пространство Pⁿ, т.е.V@Pⁿ. Теорема доказана.

Следствие. Любые два n-мерных векторных пространства над полем P изоморфны.

Доказательство. Пусть V₁ и V₂ — n-мерные векторные пространства над полем P. Тогда по теореме V₁@Pⁿ и V₂@Pⁿ. Т.к. отношение изоморфизма векторных пространств является отношением эквивалентности, то оно симметрично и транзитивно. Из V₂@Pⁿ следует Pⁿ @ V₂. Из V₁@Pⁿ и Pⁿ @ V₂ получаем V₁@V₂. Следствие доказано.