Определение линейного пространства, примеры линейных пространств

Пусть M —множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число:

· паре элементов множества отвечает элемент , называемый суммой x и y;

· паре , — любое действительное число, отвечает элемент , называемый произведением числа и элемента x.

Будем называть множество M линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов и произвольных чисел справедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. ,сложение ассоциативно;

3. существует единственный нулевой элемент такой, что ;

4. для каждого элемента существует единственный противоположный элемент - x такой, что ,

5. , умножение на число ассоциативно;

6. ;

7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Равенства 1—8 называют аксиомами линейного пространства.

Линейное пространство часто называют векторным пространством, а его элементы — векторами.

Пример 1. Пространство упорядоченных троек вещественных чисел с операциями, определяемыми равенствами:

Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан координатами своего конца . На рисунке показано и типичное подпространство пространства : плоскость, проходящая через начало координат. Точнее говоря, элементами являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы — в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения²⁾ очевидна.

Исходя из этой геометрической интерпретации, часто говорят о векторе произвольного линейного пространства как о точке пространства . Иногда эту точку называют «концом вектора ». Кроме удобства ассоциативного восприятия, этим словам не придается никакого формального смысла: понятие «конец вектора» отсутствует в аксиоматике линейного пространства.

Пример 2. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор»³⁾) — оно определяет набор «сдвигов» точек пространства . Эти сдвиги — или параллельные переносы любой пространственной фигуры — выбираются параллельными плоскости .

Вообще говоря, с подобными интерпретациями понятия вектора все обстоит не так просто. Попытки аппелировать к его физическому смыслу — как к объекту, имеющему величину и направление — вызывают справедливую отповедь строгих математиков. Определение же вектора как элемента векторного пространства очень напоминает эпизод с сепульками из знаменитого фантастического рассказа Станислава Лема (см. ☞ ЗДЕСЬ). Не будем зацикливаться на формализме, а исследуем этот нечеткий объект в его частных проявлениях.

Пример 3. Естественным обобщением служит пространство : векторное пространство строк или столбцов . Один из способов задания подпространства в — задание набора ограничений. Множество решений системы линейных однородных уравнений: