На плоскости выберем декартову прямоугольную систему координат.
Положение прямой на плоскости можно определить различными способами. Рассмотрим некоторые из них.
На плоскости прямую линию можно определить, если задать:
– одну из точек М0 прямой и ненулевой вектор n, которому должна быть перпендикулярна прямая (нормальный вектор прямой).
– одну из точек М0 прямой и ненулевой вектор a, которому должна быть параллельна прямая (направляющий вектор прямой).
– две точки М1 и М2, через которые должна проходить прямая.
– одну из точек М0 прямой и угол j, который прямая должна составлять с положительным направлением оси Ох.
Выведем уравнение прямой для каждого из этих случаев.
Выведем уравнение прямой , проходящей через данную точку М0(х0,у0) перпендикулярно ненулевому вектору n = (А,В). Любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Вектор n = (А,В) – нормальный вектор прямой, ненулевой, т.е. .
Возьмем произвольную точку М(х,у) и рассмотрим вектор
= (). Точка М(х,у) тогда и только тогда будет принадлежать прямой , когда вектор перпендикулярен
вектору n, т.е. тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:
. (2.3)
Итак, точка М(х,у) принадлежит прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют условию (2.3). Следовательно, это условие и определяет уравнение прямой .
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку М0(х 0, у 0) перпендикулярно вектору n =(А,В), имеет вид (2.3).
Пример. На плоскости даны три точки: А(–1; 2), В(3; 5), С(4; –2). Убедиться, что фигура АВС – треугольник, и составить уравнение высоты, проведенной из вершины А.
○ Точки А, В, С являются вершинами треугольника, если они не лежат на одной прямой. Рассмотрим векторы: =(4; 3), =(1;–7). Эти векторы неколлинеарны, значит, точки А, В, С не лежат на одной прямой и фигура АВС является треугольником. Составим уравнение высоты АD (AD^ВС). Прямая АD проходит через точку А(–1; 2).
В качестве нормального вектора прямой AD можно взять вектор
=(1;–7). Значит, уравнение высоты имеет вид . Преобразовав полученное уравнение, получим уравнение высоты АD: . ●
Замечание. В качестве нормального вектора прямой можно взять любой другой ненулевой вектор, коллинеарный вектору n = (А,В); уравнение прямой при этом останется равносильным записанному.
□ Действительно, рассмотрим ненулевой вектор n 1 = (А1,В1), коллинеарный нормальному вектору прямой n = (А,В). Векторы n 1 и n коллинеарны, значит, линейно зависимы. Тогда существует k (k¹0) такое, что n 1= k n, т.е. . Составим уравнение прямой, проходящей через точку М0(х 0, у 0) перпендикулярно вектору n 1=(А1,В1): , или . Поделив обе части уравнения на k, получим уравнение (2.3). ■