Однородные системы линейных уравнений. Однородная система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

Однородная система m линейных уравнений с n неизвестными
имеет вид

(5.18)

Эта система всегда совместна, так как очевидно, что она имеет нулевое (тривиальное) решение:

. (К=(0; 0; …; 0)). (5.19)

Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевые решения.

Теорема 5.5. Для того чтобы однородная система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n ().

□ Необходимость. Пусть система (5.18) имеет ненулевое решение. Тогда эта система неопределенная, так как имеет еще и нулевое решение (5.19). Ранг матрицы системы не может быть равен числу неизвестных, так как в этом случае система имела бы единственное решение. Значит, ранг . Но ранг r матрицы системы не может быть больше числа неизвестных. Поэтому .

Достаточность. Пусть . Тогда, как указывалось выше,
система (5.18) имеет бесконечное множество решений. Так как только одно из этих решений является нулевым, то все остальные решения ненулевые. ■

Следствие 1. Если число неизвестных в однородной системе больше числа уравнений, то однородная система имеет ненулевые решения.

□ Ранг r матрицы системы не превосходит числа уравнений m и по условию , значит, . Тогда по теореме 5.5 система имеет ненулевые решения. ■

Следствие 2. Для того чтобы однородная система с квадратной матрицей имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю.

□ Рассмотрим однородную систему с квадратной матрицей:

(5.20)

Если определитель матрицы этой системы не равен нулю, то
по теореме 5.2 система имеет единственное (нулевое) решение. Ранг r матрицы системы в этом случае равен n. Если же , то и по теореме 5.5 система имеет ненулевые решения. ■