Проецирование прямого угла

Теорема: Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально без искажения, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости.

([AB][BC])([AB],[BC])[AB][BC]

Рис.6

Дано: ABC=90 [AB] Доказать: ABC=90

Спроецируем [AB] и [BC] на плоскость .
[AB][AB]
[BC][BC]

Фигура ABBA - прямоугольник, следовательно [AB] плоскости BCCB, так как он перпендикулярен двум пересекающимся прямым этой плоскости (ABBC по условию и ABBB по построению).
Но ABAB, следовательно ABAB плоскости BCCB, поэтому ABBC,
т.е. ABC=90.

Обратное утверждение также верно.

По Гордону:

Рис.7

Дано: ABC=90 [AB] Доказать: ABC=90

Пусть [BC]=C
Спроецируем [AB] и [BC] на плоскость .
[AB][AB]
[BC][BC]

Проведём [DC][AB][DC][AB], поэтому BCD=90
На основании теоремы о 3-х перпендикулярах: (BCD=90)(BCD=90)ABC=90.

Верно также обратное утверждение. Эту теорему применяют при решении задач на определение расстояния от точки до прямой частного положения.

Пример:

Рис.8

Дана горизонталь h и точка С. Надо опустить перпендикуляр из точки C на прямую h. Перпендикуляр из точки C к прямой h образует угол 90 и hH, следовательно прямой угол без искажения проецируется на плоскость H, поэтому из горизонтальной проекции точки C надо опустить перпендикуляр к h1 (горизонтальной проекции горизонтали). |C1D1|=|CD|